Сумма всех вкладов в отделении банка составляет 20 млн руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 200 тыс. руб., равна 0,8. Укажите наибольшее число…

Для решения задачи, сначала давайте разберём основные данные и применим неравенство Маркова.

Данные задачи:

• Сумма всех вкладов (S) = 20 млн руб. = 20,000,000 руб.
• Вероятность того, что вклад ≤ 200,000 руб. = 0,8.

Цель:

Найти наибольшее число вкладчиков, применяя неравенство Маркова.

Объяснение решения при помощи неравенства Маркова:

Неравенство Маркова утверждает, что для неотрицательной случайной величины \(X\) и любого \(a > 0\):

\[ P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a} \]

где \(E(X)\) — математическое ожидание случайной величины \(X\).

В нашей задаче \(X\) — это величина вклада, а \(E(X)\) — средний вклад вкладчика.

Шаги для решения:

1. Определим средний вклад.

   Обозначим количество вкладчиков как \(n\). Тогда математическое ожидание \(E(X)\) можно выразить как: \[ E(X) = \frac{S}{n} = \frac{20,000,000}{n} \]

2. Используем данные о вероятности.

   Вероятность того, что вклад не превышает 200,000 руб., равна 0,8. Это значит, что 80% вкладчиков имеют вклады меньше или равные 200,000 руб. Следовательно, 20% вкладчиков имеют вклады больше 200,000 руб.

   Обозначим вклад больше 200,000 руб. как \(a = 200,000\).

3. Применим неравенство Маркова.

   По неравенству Маркова: \[ P(X \geq 200,000) \leq \frac{E(X)}{200,000} \] Зная, что \(P(X \geq 200,000) = 0.2\) (это 20% вкладчиков), мы можем подставить это значение: \[ 0.2 \leq \frac{20,000,000/n}{200,000} \]

4. Решаем неравенство:

   Упрощаем правую часть: \[ 0.2 \leq \frac{20,000,000}{200,000 \cdot n} \] Умножим обе стороны неравенства на \(200,000 \cdot n\) (помня, что \(n > 0\)): \[ 0.2 \cdot 200,000 \cdot n \leq 20,000,000 \] \[ 40,000n \leq 20,000,000 \] Разделим обе стороны на 40,000: \[ n \leq \frac{20,000,000}{40,000} = 500 \]

Вывод:

Наибольшее число вкладчиков, согласно неравенству Маркова, составляет 500.