Сумма всех вкладов в отделении банка составляет 20 млн руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 200 тыс. руб., равна 0,8. Укажите наибольшее число вкладчиков, применив неравенство Маркова.
Для решения задачи, сначала давайте разберём основные данные и применим неравенство Маркова.
### Данные задачи:
- Сумма всех вкладов (S) = 20 млн руб. = 20,000,000 руб.
- Вероятность того, что вклад ≤ 200,000 руб. = 0,8.
### Цель:
Найти наибольшее число вкладчиков, применяя неравенство Маркова.
### Объяснение решения при помощи неравенства Маркова:
Неравенство Маркова утверждает, что для неотрицательной случайной величины \(X\) и любого \(a > 0\):
\[
P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}
\]
где \(E(X)\) — математическое ожидание случайной величины \(X\).
В нашей задаче \(X\) — это величина вклада, а \(E(X)\) — средний вклад вкладчика.
### Шаги для решения:
1. **Определим средний вклад.**
Обозначим количество вкладчиков как \(n\). Тогда математическое ожидание \(E(X)\) можно выразить как:
\[
E(X) = \frac{S}{n} = \frac{20,000,000}{n}
\]
2. **Используем данные о вероятности.**
Вероятность того, что вклад не превышает 200,000 руб., равна 0,8. Это значит, что 80% вкладчиков имеют вклады меньше или равные 200,000 руб. Следовательно, 20% вкладчиков имеют вклады больше 200,000 руб.
Обозначим вклад больше 200,000 руб. как \(a = 200,000\).
3. **Применим неравенство Маркова.**
По неравенству Маркова:
\[
P(X \geq 200,000) \leq \frac{E(X)}{200,000}
\]
Зная, что \(P(X \geq 200,000) = 0.2\) (это 20% вкладчиков), мы можем подставить это значение:
\[
0.2 \leq \frac{20,000,000/n}{200,000}
\]
4. **Решаем неравенство:**
Упрощаем правую часть:
\[
0.2 \leq \frac{20,000,000}{200,000 \cdot n}
\]
Умножим обе стороны неравенства на \(200,000 \cdot n\) (помня, что \(n > 0\)):
\[
0.2 \cdot 200,000 \cdot n \leq 20,000,000
\]
\[
40,000n \leq 20,000,000
\]
Разделим обе стороны на 40,000:
\[
n \leq \frac{20,000,000}{40,000} = 500
\]
### Вывод:
Наибольшее число вкладчиков, согласно неравенству Маркова, составляет **500**.
