5 умножить 5^2x - 26 умножить 5^x + 5 = 0

Для решения уравнения \( 5 \cdot 5^{2x} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0 \) начнем с упрощения формы уравнения. 1. **Сначала упростим уравнение:** Заметим, что \( 5^{2x} \) можно представить как \( (5^x)^2 \). Введем замену: \[ y = 5^x \] Тогда \( 5^{2x} = y^2 \). Подставляем это в уравнение: \[ 5y^2 - 26y + 5 = 0 \] 2. **Решим квадратное уравнение:** Теперь у нас есть квадратное уравнение \( 5y^2 - 26y + 5 = 0 \). Чтобы найти его корни, используем формулу дискримината: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 5 \), \( b = -26 \), \( c = 5 \). Подсчитаем дискриминант: \[ D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 \] Теперь найдем корни с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ y = \frac{26 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 5} \] Так как \( \sqrt{576} = 24 \): \[ y = \frac{26 \pm 24}{10} \] Теперь находим два корня: 1. \( y_1 = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5 \) 2. \( y_2 = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = 0.2 \) 3. **Вернемся к переменной \( x \):** Теперь вернемся к замененной переменной \( y = 5^x \): 1. Для \( y_1 = 5 \): \[ 5^x = 5 \implies x = 1 \] 2. Для \( y_2 = 0.2 \): \[ 5^x = 0.2 \] Чтобы выразить \( x \), воспользуемся логарифмами: \[ x = \log_5(0.2) \] 4. **Итак, окончательные решения:** Мы нашли, что: \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = \log_5(0.2) \] Таким образом, у уравнения \( 5 \cdot 5^{2x} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0 \) есть два решения: \( x = 1 \) и \( x = \log_5(0.2) \).