в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C внешний угол при вершине а равен 120°, AC + AB = 18 см.Найдите AC и AB
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в C.
- Внешний угол при вершине A равен 120°.
- Сумма катетов AC и AB равна 18 см: \( AC + AB = 18 \).
Необходимо найти:
Длину катетов AC и AB.
Шаг 1: Определение углов
В прямоугольном треугольнике ABC угол C — это прямой угол, то есть 90°. Внешний угол при вершине A равен 120°. Мы можем найти внутренний угол A:
\[ \text{Внутренний угол A} = 180° - \text{Внешний угол A} = 180° - 120° = 60° \]
Таким образом, угол A равен 60°, а угол B равен:
\[ \text{Угол B} = 90° - 60° = 30° \]
Шаг 2: Применение соотношений в треугольнике
В треугольнике с углами 30° и 60° существует стандартное соотношение между катетами. Длина катета, противолежащего углу в 30° (в нашем случае это катет AC), в два раза меньше, чем длина катета, противолежащего углу в 60° (это катет AB). То есть:
\[ AC = \frac{1}{2} AB \]
Шаг 3: Подстановка в уравнение
Теперь можем выразить один катет через другой. Подставим это уравнение в условие задачи:
\[ AC + AB = 18 \] \[ \frac{1}{2} AB + AB = 18 \] \[ \frac{1}{2} AB + \frac{2}{2} AB = 18 \] \[ \frac{3}{2} AB = 18 \]
Шаг 4: Найдем AB
Теперь найдем \( AB \):
\[ AB = 18 \times \frac{2}{3} \] \[ AB = 12 \, \text{см} \]
Шаг 5: Найдем AC
Теперь найдем \( AC \):
\[ AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \, \text{см} \]
Ответ
Таким образом, мы получили:
- \( AC = 6 \, \text{см} \)
- \( AB = 12 \, \text{см} \)
Эти результаты соответствуют условиям задачи. Теперь вы знаете, как решать подобные задачи в треугольниках с известными углами. Если есть вопросы, задавайте!
