Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в C.
- Внешний угол при вершине A равен 120°.
- Сумма катетов AC и AB равна 18 см: ( AC + AB = 18 ).
Необходимо найти:
Длину катетов AC и AB.
Шаг 1: Определение углов
В прямоугольном треугольнике ABC угол C — это прямой угол, то есть 90°. Внешний угол при вершине A равен 120°. Мы можем найти внутренний угол A:
[ \text{Внутренний угол A} = 180° - \text{Внешний угол A} = 180° - 120° = 60° ]
Таким образом, угол A равен 60°, а угол B равен:
[ \text{Угол B} = 90° - 60° = 30° ]
Шаг 2: Применение соотношений в треугольнике
В треугольнике с углами 30° и 60° существует стандартное соотношение между катетами. Длина катета, противолежащего углу в 30° (в нашем случае это катет AC), в два раза меньше, чем длина катета, противолежащего углу в 60° (это катет AB). То есть:
[ AC = \frac{1}{2} AB ]
Шаг 3: Подстановка в уравнение
Теперь можем выразить один катет через другой. Подставим это уравнение в условие задачи:
[ AC + AB = 18 ]
[ \frac{1}{2} AB + AB = 18 ]
[ \frac{1}{2} AB + \frac{2}{2} AB = 18 ]
[ \frac{3}{2} AB = 18 ]
Шаг 4: Найдем AB
Теперь найдем ( AB ):
[ AB = 18 \times \frac{2}{3} ]
[ AB = 12 , \text{см} ]
Шаг 5: Найдем AC
Теперь найдем ( AC ):
[ AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 12 = 6 , \text{см} ]
Ответ
Таким образом, мы получили:
- ( AC = 6 , \text{см} )
- ( AB = 12 , \text{см} )
Эти результаты соответствуют условиям задачи. Теперь вы знаете, как решать подобные задачи в треугольниках с известными углами. Если есть вопросы, задавайте!
