Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо кратным 5, либо тому и другому одновременно.

Для нахождения вероятности того, что случайно выбранное двузначное число окажется кратным 3, 5 или тому и другому одновременно, следуем пошагово.

Шаг 1: Определение диапазона двузначных чисел

Двузначные числа — это числа от 10 до 99. Количество двузначных чисел можно вычислить следующим образом:

\[ 99 - 10 + 1 = 90 \]

Итак, всего 90 двузначных чисел.

Шаг 2: Определение кратных 3

Чтобы найти количество двузначных чисел, кратных 3, представим последовательность таких чисел:

• Первое двузначное число, кратное 3: 12
• Последнее двузначное число, кратное 3: 99

Числа, кратные 3, формируют арифметическую прогрессию:

\[ a_n = 12 + (n-1) \cdot 3 \]

Чтобы найти количество членов (n) этой последовательности, решим неравенство:

\[ 12 + (n-1) \cdot 3 \leq 99 \\ (n-1) \cdot 3 \leq 87 \\ n - 1 \leq 29 \\ n \leq 30 \]

Таким образом, \( n = 30 \). Значит, кратные 3 двузначные числа: 12, 15, 18, ..., 99. Их 30 штук.

Шаг 3: Определение кратных 5

Аналогично, найдем количество двузначных чисел, кратных 5:

• Первое двузначное число, кратное 5: 10
• Последнее двузначное число, кратное 5: 95

Эти числа также формируют арифметическую прогрессию:

\[ b_n = 10 + (n-1) \cdot 5 \]

Решим неравенство:

\[ 10 + (n-1) \cdot 5 \leq 95 \\ (n-1) \cdot 5 \leq 85 \\ n - 1 \leq 17 \\ n \leq 18 \]

Таким образом, \( n = 18 \). Значит, кратные 5 двузначные числа: 10, 15, 20, ..., 95. Их 18 штук.

Шаг 4: Определение кратных 15

Теперь найдем количество двузначных чисел, кратных 15 (пересечение множеств кратных 3 и кратных 5):

• Первое двузначное число, кратное 15: 15
• Последнее двузначное число, кратное 15: 90

Арифметическая прогрессия:

\[ c_n = 15 + (n-1) \cdot 15 \]

Решим неравенство:

\[ 15 + (n-1) \cdot 15 \leq 90 \\ (n-1) \cdot 15 \leq 75 \\ n - 1 \leq 5 \\ n \leq 6 \]

Таким образом, \( n = 6 \). Это числа: 15, 30, 45, 60, 75, 90.

Шаг 5: Применение формулы включения-исключения

Теперь можем воспользоваться формулой включения-исключения для нахождения количества чисел, которые кратны 3 или 5:

\[ N(3 \cup 5) = N(3) + N(5) - N(3 \cap 5) \]

Где:

• \( N(3) = 30 \)
• \( N(5) = 18 \)
• \( N(3 \cap 5) = 6 \)

Подставляем значения:

\[ N(3 \cup 5) = 30 + 18 - 6 = 42 \]

Шаг 6: Нахождение вероятности

Теперь мы можем найти вероятность того, что случайно выбранное двузначное число кратно 3 или 5:

\[ P = \frac{N(3 \cup 5)}{N(всего)} = \frac{42}{90} \]

Сократим дробь:

\[ P = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \]

Ответ

Вероятность того, что случайно выбранное двузначное число окажется кратным 3 или 5, равна \( \frac{7}{15} \).