Чтобы понять, во сколько раз уменьшится площадь поверхности куба при уменьшении всех его рёбер в 1.5 раза, начнем с некоторых определений.
Шаг 1: Площадь поверхности куба
Площадь поверхности куба можно рассчитать по формуле:
[
S = 6a^2
]
где ( S ) — площадь поверхности, ( a ) — длина ребра куба.
Шаг 2: Уменьшение длины ребра
Если все рёбра куба уменьшаются в 1.5 раза, то новое значение длины ребра ( a' ) будет:
[
a' = \frac{a}{1.5}
]
Шаг 3: Подстановка нового значения в формулу площади
Теперь подставим новое значение длины ребра в формулу для площади поверхности:
[
S' = 6(a')^2 = 6\left(\frac{a}{1.5}\right)^2
]
Шаг 4: Упрощение выражения
Подсчитаем ( (a')^2 ):
[
S' = 6\left(\frac{a^2}{(1.5)^2}\right) = 6\left(\frac{a^2}{2.25}\right) = \frac{6a^2}{2.25}
]
Теперь упростим:
[
S' = \frac{6a^2}{2.25} = \frac{6}{2.25}a^2
]
Зная, что ( 2.25 = \frac{9}{4} ), мы получаем:
[
S' = 6 \cdot \frac{4}{9}a^2 = \frac{24}{9}a^2 = \frac{8}{3}a^2
]
Шаг 5: Находим во сколько раз уменьшилась площадь
Теперь сравним новое значение площади с исходным:
[
S = 6a^2
]
и
[
S' = \frac{8}{3}a^2
]
Для нахождения отношения площадей:
[
\frac{S'}{S} = \frac{\frac{8}{3}a^2}{6a^2} = \frac{8}{3 \cdot 6} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
]
Заключение
Теперь, чтобы узнать, во сколько раз уменьшилась площадь поверхности куба, найдем обратное отношение:
[
\text{Во сколько раз уменьшилась площадь} = \frac{S}{S'} = \frac{6a^2}{\frac{8}{3}a^2} = \frac{6 \cdot 3}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2.25
]
Таким образом, площадь поверхности куба уменьшится в 2.25 раза.
