(a-7)(a-13)>(a-102)-12

Рассмотрим неравенство \((a - 7)(a - 13) > (a - 102) - 12\) и решим его шаг за шагом.

Шаг 1: Упростим обе стороны неравенства

Начнем с правой стороны неравенства: \[ (a - 102) - 12 = a - 102 - 12 = a - 114 \] Теперь неравенство выглядит так: \[ (a - 7)(a - 13) > a - 114 \]

Шаг 2: Раскроем левую часть

Теперь раскроем левую часть неравенства: \[ (a - 7)(a - 13) = a^2 - 13a - 7a + 91 = a^2 - 20a + 91 \] Теперь у нас есть: \[ a^2 - 20a + 91 > a - 114 \]

Шаг 3: Переносим все члены в одну часть

Теперь перенесем все члены на одну сторону: \[ a^2 - 20a + 91 - (a - 114) > 0 \] Это преобразуется в: \[ a^2 - 20a - a + 91 + 114 > 0 \] или \[ a^2 - 21a + 205 > 0 \]

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения

Для нахождения корней уравнения \(a^2 - 21a + 205 = 0\) используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 205 = 441 - 820 = -379 \] Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола, описываемая уравнением, либо всегда выше оси X, либо всегда ниже.

Шаг 5: Определяем направление параболы

Поскольку коэффициент перед \(a^2\) положителен (1), парабола открывается вверх. Так как у нас нет действительных корней, все значения функции \(a^2 - 21a + 205\) будут положительными.

Шаг 6: Заключение

Следовательно, неравенство \(a^2 - 21a + 205 > 0\) выполняется для всех значений \(a\). Это значит, что решение неравенства: \[ \text{Все } a \in \mathbb{R} \]

Таким образом, любое значение \(a\) удовлетворяет данному неравенству.