Реши задачу К некоторому количеству сплава железа с никелем, содержащему 4 кг никеля, добавили 2 кг никеля, в результате чего процентное содержание железа в сплаве понизилось на 10~\%. Определи первоначальную массу сплава. Решение. Заполним таблицу по условию задачи. Масса сплава, кг Масса железа, кг Процентное содержание железа в сплаве Было Стало Составим и решим уравнение.

Для решения данной задачи давайте обозначим некоторые переменные и последовательно разберем всё условие. ### Обозначения - Пусть \( m \) — первоначальная масса сплава (в кг). - Известно, что изначально в сплав входит 4 кг никеля. - Тогда масса железа в сплаве изначально будет равна \( m - 4 \) кг. ### Изначальное процентное содержание железа Изначально процентное содержание железа в сплаве можно рассчитать по формуле: \[ \text{Процентное содержание железа} = \frac{\text{Масса железа}}{\text{Масса сплава}} \times 100\% \] Следовательно, изначально процентное содержание железа будет: \[ \frac{m - 4}{m} \times 100\% \] ### Далее, добавим 2 кг никеля После добавления 2 кг никеля, общая масса сплава станет: \[ m + 2 \] А масса никеля теперь составит: \[ 4 + 2 = 6 \text{ кг} \] Масса железа останется прежней, то есть \( m - 4 \) кг. ### Процентное содержание железа после добавления никеля Новое процентное содержание железа считается так: \[ \frac{m - 4}{m + 2} \times 100\% \] ### Условие задачи По условию, процентное содержание железа после добавления никеля уменьшилось на 10%. Это можно выразить уравнением: \[ \frac{m - 4}{m + 2} \times 100\% = \frac{m - 4}{m} \times 100\% - 10\% \] ### Упростим уравнение Убираем \( 100\% \) из уравнения: \[ \frac{m - 4}{m + 2} = \frac{m - 4}{m} - 0.1 \] Для удобства умножим обе стороны уравнения на \( m(m + 2) \) (чтобы избавиться от знаменателей): \[ (m - 4)m = (m - 4)(m + 2) - 0.1m(m + 2) \] Теперь раскроем скобки: - Левую часть: \[ m^2 - 4m \] - Правую часть: \[ (m - 4)(m + 2) = m^2 + 2m - 4m - 8 = m^2 - 2m - 8 \] Теперь подставляем в уравнение: \[ m^2 - 4m = m^2 - 2m - 8 - 0.1(m^2 + 2m) \] Упростим правую часть. Сначала раскроем последний член: \[ m^2 - 2m - 8 - 0.1m^2 - 0.2m = (1 - 0.1)m^2 - (2 + 0.2)m - 8 = 0.9m^2 - 2.2m - 8 \] Теперь у нас получается: \[ m^2 - 4m = 0.9m^2 - 2.2m - 8 \] Переносим всё в левую часть: \[ m^2 - 0.9m^2 - 4m + 2.2m + 8 = 0 \] \[ 0.1m^2 - 1.8m + 8 = 0 \] ### Решим квадратное уравнение Теперь решим уравнение методом дискриминанта. Найдем \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-1.8)^2 - 4 \cdot 0.1 \cdot 8 = 3.24 - 3.2 = 0.04 \] Находим корни: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1.8 \pm 0.2}{0.2} \] ### Корни уравнения 1. Первый корень: \[ m_1 = \frac{1.8 + 0.2}{0.2} = \frac{2.0}{0.2} = 10 \] 2. Второй корень: \[ m_2 = \frac{1.8 - 0.2}{0.2} = \frac{1.6}{0.2} = 8 \] Так как масса сплава не может быть меньше 4 кг (так как в нем содержится 4 кг никеля), мы принимаем только значение \( m = 10 \) кг. ### Ответ Таким образом, первоначальная масса сплава составляет **10 кг**.