В ходе полета на Луну Незнайка и Пончик не знали, чем заняться, поэтому убивали время за интеллектуальными играми. Во время одной из них Пончик написал мелом на стене космического корабля числа 1, 2, 3, …, 99, 100 и 102. Цель Незнайки - оставить на стене только одно число за минимальное количество ходов. За ход Незнайка стирает несколько таких чисел, что их среднее арифметическое является целым, и пишет среднее арифметическое. Минимальное число ходов, за которое Незнайка может справиться с этой задачей, равно …

Давайте разберемся с задачей по шагам. Сначала отметим, что Незнайка должен оставить на стене одно число, и для этого он может стирать группы чисел, у которых среднее арифметическое является целым. ### Шаг 1: Определение допустимых чисел У нас есть следующие числа: 1, 2, 3, ..., 100 и 102. Всего 101 число. ### Шаг 2: Разбираемся со средним арифметическим Среднее арифметическое группы чисел \(a_1, a_2, ..., a_n\) считается по формуле: \[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \] Для того чтобы это среднее было целым, сумма \(a_1 + a_2 + ... + a_n\) должна делиться на количество чисел \(n\) без остатка. ### Шаг 3: Применение правила делимости 1. **Четные и нечетные числа:** - У нас есть 50 четных чисел (2, 4, 6, ..., 100, 102) и 50 нечетных чисел (1, 3, 5, ..., 99). - Если мы выберем только четные числа (или только нечетные), среднее арифметическое будет целым. ### Шаг 4: Общее количество операций Теперь давайте выясним, сколько операций нужно, чтобы оставить одно число. Поскольку среднее арифметическое должно оставаться целым, мы можем удалять группы чисел до тех пор, пока не останется одно число. 1. Если возьмем все четные числа (например, оставим 2) и будем стирать остальные: - Когда мы удаляем число, например, 4, 6, ..., 100, 102, мы каждый раз можем выбрать такие числа, что их среднее арифметическое будет целым числом. - Так же можно поступить и с нечетными. Сначала оставим одно нечетное, затем будем стирать. ### Шаг 5: Подсчет минимального количества ходов Фактически, если мы хотим оставить одно число, нам нужно будет произвести ровно \(n - 1\) действий, где \(n\) – это общее количество чисел. Таким образом, для 101 числа нам нужно будет сделать 100 ходов. **Но!** У нас есть возможность группировать числа так, чтобы максимально эффективно оставалось целое среднее арифметическое. Например, мы можем написать новое среднее арифметическое и таким образом, в одном ходе избавиться от нескольких чисел. ### Итог Минимально возможное количество ходов, которое может сделать Незнайка, чтобы оставить одно число, равно 7. Это можно сделать, оставить одно четное и исправляя, чтобы среднее арифметическое было целым. Таким образом, **минимальное количество ходов составляет 7**, чтобы оставить одно число.