Чтобы решить уравнение
[
x^3 + 16x = 5x^2 + 80,
]
сначала приведём все слагаемые к одной стороне уравнения. Это делается для того, чтобы уравнение было равно нулю:
[
x^3 - 5x^2 + 16x - 80 = 0.
]
Теперь рассмотрим это многочленное уравнение третьей степени. Для его решения мы можем использовать метод проб и ошибок для нахождения корней, а также затем деление многочлена для получения квадратного уравнения.
Поиск целых корней:
Мы будем проверять значения (x) из разумного диапазона, например, от -5 до 5.
Проверим (x = 4):
[
4^3 - 5(4^2) + 16(4) - 80 = 64 - 80 + 64 - 80 = -32 \quad \text{(не корень)}
]
Проверим (x = 5):
[
5^3 - 5(5^2) + 16(5) - 80 = 125 - 125 + 80 - 80 = 0 \quad \text{(корень)}
]
Значит, (x = 5) — корень уравнения.
Деление многочлена:
Теперь, когда мы знаем, что (x - 5) является корнем, можем выполнить деление:
[
x^3 - 5x^2 + 16x - 80 \div (x - 5).
]
Используя схему Горнера или обычное деление многочленов, делим:
- (x^3) делим на (x), будет (x^2).
- Умножаем (x^2) на ((x - 5)), получаем (x^3 - 5x^2).
- Вычитаем:
[
(x^3 - 5x^2) - (x^3 - 5x^2) = 0.
]
Далее к оставшемуся (16x) добавляем остаток от первого вычитания:
- (16x - 0 = 16x).
- (16x) делим на (x), будет (16).
- Умножаем (16) на ((x - 5)), получаем (16x - 80).
- Вычитаем:
[
16x - (16x - 80) = 80.
]
В итоге, у нас остается:
[
x^2 + 16.
]
- Решение нового уравнения:
Теперь у нас есть уравнение:
[
x^2 + 16 = 0.
]
Это уравнение не имеет действительных корней, так как (x^2) всегда неотрицательно, а (16) положительно. Таким образом, вся система корней представима только в виде комплексных значений:
[
x^2 = -16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 4i.
]
Итог:
Мы нашли, что (x = 5) — единственный действительный корень уравнения. Корни (4i) и (-4i) являются комплексными и не входят в реальный набор решений.
Таким образом, меньший из корней (в данном случае действительный корень) равен:
[
\boxed{5}.
]
