Реши уравнение x 3 + 16 x = 5 x 2 + 80 x 3 +16x=5x 2 +80 . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запиши меньший из корней.
Чтобы решить уравнение
\[ x^3 + 16x = 5x^2 + 80, \]
сначала приведём все слагаемые к одной стороне уравнения. Это делается для того, чтобы уравнение было равно нулю:
\[ x^3 - 5x^2 + 16x - 80 = 0. \]
Теперь рассмотрим это многочленное уравнение третьей степени. Для его решения мы можем использовать метод проб и ошибок для нахождения корней, а также затем деление многочлена для получения квадратного уравнения.
Поиск целых корней:
Мы будем проверять значения \(x\) из разумного диапазона, например, от -5 до 5.Проверим \(x = 4\): \[ 4^3 - 5(4^2) + 16(4) - 80 = 64 - 80 + 64 - 80 = -32 \quad \text{(не корень)} \]
Проверим \(x = 5\): \[ 5^3 - 5(5^2) + 16(5) - 80 = 125 - 125 + 80 - 80 = 0 \quad \text{(корень)} \]
Значит, \(x = 5\) — корень уравнения.
Деление многочлена: Теперь, когда мы знаем, что \(x - 5\) является корнем, можем выполнить деление:
\[ x^3 - 5x^2 + 16x - 80 \div (x - 5). \]
Используя схему Горнера или обычное деление многочленов, делим:
- \(x^3\) делим на \(x\), будет \(x^2\).
- Умножаем \(x^2\) на \((x - 5)\), получаем \(x^3 - 5x^2\).
- Вычитаем: \[ (x^3 - 5x^2) - (x^3 - 5x^2) = 0. \]
Далее к оставшемуся \(16x\) добавляем остаток от первого вычитания:
- \(16x - 0 = 16x\).
- \(16x\) делим на \(x\), будет \(16\).
- Умножаем \(16\) на \((x - 5)\), получаем \(16x - 80\).
- Вычитаем: \[ 16x - (16x - 80) = 80. \]
В итоге, у нас остается:
\[ x^2 + 16. \]
- Решение нового уравнения:
Теперь у нас есть уравнение:
\[ x^2 + 16 = 0. \]
Это уравнение не имеет действительных корней, так как \(x^2\) всегда неотрицательно, а \(16\) положительно. Таким образом, вся система корней представима только в виде комплексных значений:
\[ x^2 = -16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 4i. \]
Итог: Мы нашли, что \(x = 5\) — единственный действительный корень уравнения. Корни \(4i\) и \(-4i\) являются комплексными и не входят в реальный набор решений.
Таким образом, меньший из корней (в данном случае действительный корень) равен:
\[ \boxed{5}. \]
