Для решения данной задачи нам необходимо рассмотреть два процесса, через которые проходит идеальный газ:
- Изобарное охлаждение (процесс (1 \rightarrow 2)).
- Адиабатическое сжатие (процесс (2 \rightarrow 3)).
Начнем с первого процесса.
1. Процесс 1 → 2 (Изобарное охлаждение)
По условиям задачи:
- Количество вещества (\nu = 3) моль.
- Работа, совершаемая газом, (A_1 = 740) Дж.
- Температура уменьшается в 2 раза: (T_2 = \frac{T_1}{2}).
Поскольку процесс изобарный, мы можем использовать уравнение для работы в изобарном процессе:
[
A = P \Delta V
]
Однако нам также нужно учитывать изменения температуры и внутренней энергии газы.
Для идеального одноатомного газа у нас есть:
- Удельная теплоемкость при постоянном давлении (C_p = \frac{5}{2}R).
- Удельная теплоемкость при постоянном объеме (C_v = \frac{3}{2}R).
Мы можем воспользоваться уравнением состояния идеального газа:
[
PV = nRT
]
где:
- (P) — давление,
- (V) — объем,
- (n) — количество вещества,
- (R) — универсальная газовая постоянная,
- (T) — температура.
В процессе изобарного охлаждения теплота, отнимаемая от газа, равняется:
[
Q = nC_p(T_1 - T_2) = nC_p\left(T_1 - \frac{T_1}{2}\right) = nC_p\left(\frac{T_1}{2}\right)
]
Так как (C_p = \frac{5}{2}R):
[
Q = 3 \cdot \frac{5}{2}R \cdot \frac{T_1}{2} = \frac{15}{4}RT_1
]
Так как в изобарном процессе:
[
Q = A + \Delta U
]
где (\Delta U = nC_v \Delta T).
Изменение внутренней энергии:
[
\Delta U = nC_v(T_1 - T_2) = nC_v\left(T_1 - \frac{T_1}{2}\right) = nC_v\left(\frac{T_1}{2}\right)
]
Таким образом:
[
\Delta U = 3 \cdot \frac{3}{2}R \cdot \frac{T_1}{2} = \frac{9}{4}RT_1
]
Теперь из уравнения для теплоты:
[
\frac{15}{4}RT_1 = 740 + \frac{9}{4}RT_1
]
Решим это уравнение для (RT_1):
[
\frac{15}{4}RT_1 - \frac{9}{4}RT_1 = 740
]
[
\frac{6}{4}RT_1 = 740 \implies RT_1 = \frac{740 \cdot 4}{6} = \frac{2960}{6} \approx 493.33 \text{ Дж/моль}
]
2. Процесс 2 → 3 (Адиабатическое сжатие)
При адиабатическом сжатии выполняются следующие уравнения:
[
T_2 V_2^{\gamma - 1} = T_3 V_3^{\gamma - 1}
]
где (\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5/2}{3/2} = \frac{5}{3}).
Согласно задаче (T_3 = T_1), (T_2 = \frac{T_1}{2}), подставляем:
[
\frac{T_1}{2} V_2^{\frac{2}{3}} = T_1 V_3^{\frac{2}{3}}
]
Отсюда:
[
V_2^{\frac{2}{3}} = 2V_3^{\frac{2}{3}} \implies V_2 = 2^{\frac{3}{2}} V_3
]
Работа при адиабатическом процессе:
[
A_{adiab} = \frac{nR(T_3 - T_2)}{\gamma - 1} = \frac{3R\left(T_1 - \frac{T_1}{2}\right)}{\frac{2}{3}} = \frac{3R\left(\frac{T_1}{2}\right)}{\frac{2}{3}} = \frac{9RT_1}{4}
]
Теперь находим полную работу:
[
A_{total} = A_1 + A_{adiab} = 740 + \frac{9RT_1}{4}
]
Подставляем значение (RT_1 \approx 493.33):
[
A_{adiab} \approx \frac{9 \cdot 493.33}{4} \approx 1106.49 \text{ Дж}
]
И так:
[
A_{total} \approx 740 + 1106.49 \approx 1846.49 \text{ Дж}
]
Итак, работа внешних сил за весь процесс (1 \to 2 \to 3) примерно равна (1846) Дж.
Ответ: 1846
