Идеальный одноатомный газ в количестве ν = 3 ν=3 моль изобарно охлаждают, совершая работу A 1 = 740 A 1 =740 Дж. При этом температура аргона уменьшается в 2 2 раза: T 2 = T 1 2 T…
Идеальный одноатомный газ в количестве ν = 3 ν=3 моль изобарно охлаждают, совершая работу A 1 = 740 A 1 =740 Дж. При этом температура аргона уменьшается в 2 2 раза: T 2 = T 1 2 T 2 = 2 T 1 . Затем газ адиабатически сжимается так, что его температура изменяется до значения T 3 = T 1 T 3 =T 1 . Чему равна работа внешних сил за весь процесс 1 1 — 2 2 — 3 3? Количество вещества в процессах постоянно. Запиши в поле ответа верное число.
Для решения данной задачи нам необходимо рассмотреть два процесса, через которые проходит идеальный газ:
- Изобарное охлаждение (процесс \(1 \rightarrow 2\)).
- Адиабатическое сжатие (процесс \(2 \rightarrow 3\)).
Начнем с первого процесса.
1. Процесс 1 → 2 (Изобарное охлаждение)
По условиям задачи:
- Количество вещества \(\nu = 3\) моль.
- Работа, совершаемая газом, \(A_1 = 740\) Дж.
- Температура уменьшается в 2 раза: \(T_2 = \frac{T_1}{2}\).
Поскольку процесс изобарный, мы можем использовать уравнение для работы в изобарном процессе: \[ A = P \Delta V \] Однако нам также нужно учитывать изменения температуры и внутренней энергии газы.
Для идеального одноатомного газа у нас есть:
- Удельная теплоемкость при постоянном давлении \(C_p = \frac{5}{2}R\).
- Удельная теплоемкость при постоянном объеме \(C_v = \frac{3}{2}R\).
Мы можем воспользоваться уравнением состояния идеального газа: \[ PV = nRT \] где:
- \(P\) — давление,
- \(V\) — объем,
- \(n\) — количество вещества,
- \(R\) — универсальная газовая постоянная,
- \(T\) — температура.
В процессе изобарного охлаждения теплота, отнимаемая от газа, равняется: \[ Q = nC_p(T_1 - T_2) = nC_p\left(T_1 - \frac{T_1}{2}\right) = nC_p\left(\frac{T_1}{2}\right) \] Так как \(C_p = \frac{5}{2}R\): \[ Q = 3 \cdot \frac{5}{2}R \cdot \frac{T_1}{2} = \frac{15}{4}RT_1 \]
Так как в изобарном процессе: \[ Q = A + \Delta U \] где \(\Delta U = nC_v \Delta T\).
Изменение внутренней энергии: \[ \Delta U = nC_v(T_1 - T_2) = nC_v\left(T_1 - \frac{T_1}{2}\right) = nC_v\left(\frac{T_1}{2}\right) \]
Таким образом: \[ \Delta U = 3 \cdot \frac{3}{2}R \cdot \frac{T_1}{2} = \frac{9}{4}RT_1 \]
Теперь из уравнения для теплоты: \[ \frac{15}{4}RT_1 = 740 + \frac{9}{4}RT_1 \] Решим это уравнение для \(RT_1\): \[ \frac{15}{4}RT_1 - \frac{9}{4}RT_1 = 740 \] \[ \frac{6}{4}RT_1 = 740 \implies RT_1 = \frac{740 \cdot 4}{6} = \frac{2960}{6} \approx 493.33 \text{ Дж/моль} \]
2. Процесс 2 → 3 (Адиабатическое сжатие)
При адиабатическом сжатии выполняются следующие уравнения: \[ T_2 V_2^{\gamma - 1} = T_3 V_3^{\gamma - 1} \] где \(\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5/2}{3/2} = \frac{5}{3}\).
Согласно задаче \(T_3 = T_1\), \(T_2 = \frac{T_1}{2}\), подставляем: \[ \frac{T_1}{2} V_2^{\frac{2}{3}} = T_1 V_3^{\frac{2}{3}} \] Отсюда: \[ V_2^{\frac{2}{3}} = 2V_3^{\frac{2}{3}} \implies V_2 = 2^{\frac{3}{2}} V_3 \]
Работа при адиабатическом процессе: \[ A_{adiab} = \frac{nR(T_3 - T_2)}{\gamma - 1} = \frac{3R\left(T_1 - \frac{T_1}{2}\right)}{\frac{2}{3}} = \frac{3R\left(\frac{T_1}{2}\right)}{\frac{2}{3}} = \frac{9RT_1}{4} \]
Теперь находим полную работу: \[ A_{total} = A_1 + A_{adiab} = 740 + \frac{9RT_1}{4} \]
Подставляем значение \(RT_1 \approx 493.33\): \[ A_{adiab} \approx \frac{9 \cdot 493.33}{4} \approx 1106.49 \text{ Дж} \]
И так: \[ A_{total} \approx 740 + 1106.49 \approx 1846.49 \text{ Дж} \]
Итак, работа внешних сил за весь процесс \(1 \to 2 \to 3\) примерно равна \(1846\) Дж.
Ответ: 1846
