Найдите вероятность того, что в случайно выбранном семиназначном телефонном номере последние пять цифр-одна семёрка и четыре восьмёрки (в любом порядке)

Чтобы найти вероятность того, что в случайно выбранном семиразрядном телефонном номере последние пять цифр будут содержать одну семёрку и четыре восьмёрки (в любом порядке), следуем следующему алгоритму.

1. Определение общего числа вариантов

Сначала определим, сколько существует всех возможных комбинаций последних пяти цифр, состоящих из одной семерки и четырех восьмерок.

Шаг 1: Подсчет перестановок

Для начала, нам необходимо определить, сколько отличных перестановок можно составить из набора цифр, который состоит из одной семерки и четырех восьмерок.

Формула для подсчета перестановок с повторениями выглядит так:

\[ P_n = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2!} \]

где:

• \( n \) — общее количество предметов (цифр),
• \( n_1 \) — количество повторяющихся предметов первого типа (в нашем случае – семерок),
• \( n_2 \) — количество повторяющихся предметов второго типа (в нашем случае – восьмерок).

В нашем случае:

• \( n = 5 \) (все цифры),
• \( n_1 = 1 \) (одна семёрка),
• \( n_2 = 4 \) (четыре восьмерки).

Подставим значения в формулу:

\[ P_5 = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{120}{1 \cdot 24} = 5 \]

Таким образом, существует 5 различных перестановок цифр (12345) из одной семёрки и четырех восьмерок.

2. Определение общего числа семиназначных номеров

Теперь давайте определим общее количество возможных семиназначных телефонных номеров. Так как каждый из разрядов номера может содержать любую из 10 цифр (от 0 до 9), общее количество всех семиназначных номеров:

\[ 10^7 = 10,000,000 \]

3. Вычисление вероятности

Теперь мы можем найти вероятность того, что последние пять цифр случайно выбранного семиназначного номера будут содержать одну семёрку и четыре восьмерки. Для этого разделим количество успешных исходов на общее количество возможных исходов:

\[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{5 \cdot 10^2}{10^7} \]

где \( 10^2 \) — это количество возможных вариантов для первых двух цифр номеров, так как они могут быть любыми (от 0 до 9), и, соответственно, 100 вариантов.

\[ P = \frac{500}{10,000,000} = \frac{1}{20,000} \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что в случайно выбранном семиназначном телефонном номере последние пять цифр будут содержать одну семёрку и четыре восьмерки (в любом порядке) равна:

\[ \frac{1}{20,000} \]