Найдите вероятность того, что в случайно выбранном семиназначном телефонном номере последние пять цифр-одна семёрка и четыре восьмёрки (в любом порядке)

Чтобы найти вероятность того, что в случайно выбранном семиразрядном телефонном номере последние пять цифр будут содержать одну семёрку и четыре восьмёрки (в любом порядке), следуем следующему алгоритму. ### 1. Определение общего числа вариантов Сначала определим, сколько существует всех возможных комбинаций последних пяти цифр, состоящих из одной семерки и четырех восьмерок. #### Шаг 1: Подсчет перестановок Для начала, нам необходимо определить, сколько отличных перестановок можно составить из набора цифр, который состоит из одной семерки и четырех восьмерок. Формула для подсчета перестановок с повторениями выглядит так: \[ P_n = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2!} \] где: - \( n \) — общее количество предметов (цифр), - \( n_1 \) — количество повторяющихся предметов первого типа (в нашем случае – семерок), - \( n_2 \) — количество повторяющихся предметов второго типа (в нашем случае – восьмерок). В нашем случае: - \( n = 5 \) (все цифры), - \( n_1 = 1 \) (одна семёрка), - \( n_2 = 4 \) (четыре восьмерки). Подставим значения в формулу: \[ P_5 = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{120}{1 \cdot 24} = 5 \] Таким образом, существует 5 различных перестановок цифр (12345) из одной семёрки и четырех восьмерок. ### 2. Определение общего числа семиназначных номеров Теперь давайте определим общее количество возможных семиназначных телефонных номеров. Так как каждый из разрядов номера может содержать любую из 10 цифр (от 0 до 9), общее количество всех семиназначных номеров: \[ 10^7 = 10,000,000 \] ### 3. Вычисление вероятности Теперь мы можем найти вероятность того, что последние пять цифр случайно выбранного семиназначного номера будут содержать одну семёрку и четыре восьмерки. Для этого разделим количество успешных исходов на общее количество возможных исходов: \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{5 \cdot 10^2}{10^7} \] где \( 10^2 \) — это количество возможных вариантов для первых двух цифр номеров, так как они могут быть любыми (от 0 до 9), и, соответственно, 100 вариантов. \[ P = \frac{500}{10,000,000} = \frac{1}{20,000} \] ### Ответ Таким образом, вероятность того, что в случайно выбранном семиназначном телефонном номере последние пять цифр будут содержать одну семёрку и четыре восьмерки (в любом порядке) равна: \[ \frac{1}{20,000} \]