Построить графики функций: A) y = 2x ^ 2 + 1 B) y = (x + 1) ^ 2 C) y = (x ^ 2 + 4) - 3

Давайте по порядку разберем каждую из предложенных функций и построим их графики. ### A) \( y = 2x^2 + 1 \) 1. **Идентификация функции**: Это квадратичная функция (парабола), поскольку она имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = 2 \), \( b = 0 \), \( c = 1 \). 2. **Ветви**: Поскольку \( a > 0 \), ветви параболы открываются вверх. 3. **Вершина параболы**: Вершина такой функции находится в точке: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0 \] Подставляем это значение в уравнение функции, чтобы найти \( y \): \[ y = 2(0)^2 + 1 = 1 \] Таким образом, координаты вершины: \( (0, 1) \). 4. **Нахождение значений**: Для построения графика, выберем несколько значений \( x \): - \( x = -2 \): \( y = 2(-2)^2 + 1 = 8 + 1 = 9 \) - \( x = -1 \): \( y = 2(-1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3 \) - \( x = 0 \): \( y = 1 \) (в вершине) - \( x = 1 \): \( y = 2(1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3 \) - \( x = 2 \): \( y = 2(2)^2 + 1 = 8 + 1 = 9 \) 5. **Построение графика**: Наносим на координатную плоскость точки \( (-2, 9) \), \( (-1, 3) \), \( (0, 1) \), \( (1, 3) \), \( (2, 9) \) и соединяем их, чтобы получить параболу. ### B) \( y = (x + 1)^2 \) 1. **Идентификация**: Это также квадратичная функция, в явной форме \( (x - h)^2 + k \), где \( h = -1 \), \( k = 0 \). 2. **Вершина**: Вершина этой параболы находится в точке \( (-1, 0) \). 3. **Нахождение значений**: - \( x = -3 \): \( y = (-3 + 1)^2 = (-2)^2 = 4 \) - \( x = -2 \): \( y = (-2 + 1)^2 = (-1)^2 = 1 \) - \( x = 0 \): \( y = (0 + 1)^2 = 1^2 = 1 \) - \( x = 1 \): \( y = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4 \) - \( x = 2 \): \( y = (2 + 1)^2 = 3^2 = 9 \) 4. **Построение графика**: Точки для графика: \( (-3, 4) \), \( (-2, 1) \), \( (-1, 0) \), \( (0, 1) \), \( (1, 4) \), \( (2, 9) \). Соединяем точки для получения параболы, открывающейся вверх. ### C) \( y = (x^2 + 4) - 3 \) 1. **Упрощение**: Упрощаем уравнение: \[ y = x^2 + 4 - 3 = x^2 + 1 \] 2. **Идентификация**: Это снова квадратичная функция, имеющая вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = 1 \), \( b = 0 \), \( c = 1 \). 3. **Вершина**: Находим вершину: \[ x = -\frac{b}{2a} = 0 \] Подставим: \[ y = 1 \] Вершина находится в точке \( (0, 1) \). 4. **Нахождение значений**: - \( x = -2 \): \( y = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \) - \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \) - \( x = 0 \): \( y = 1 \) (в вершине) - \( x = 1 \): \( y = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \) - \( x = 2 \): \( y = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \) 5. **Построение графика**: Точки: \( (-2, 5) \), \( (-1, 2) \), \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, 5) \). Соединяем эти точки, чтобы получить параболу. ### Заключение Итак, вы построили графики трех функций: - Для функции A: пeрвая парабола, вершина (0, 1). - Для функции B: вторая парабола, вершина (-1, 0). - Для функции C: третья парабола, вершина (0, 1). Эти графики будут похожи на стандартные параболы, но с различными высотами и расположением на координатной плоскости.