Построить графики функций: A) y = 2x ^ 2 + 1 B) y = (x + 1) ^ 2 C) y = (x ^ 2 + 4) - 3

Давайте по порядку разберем каждую из предложенных функций и построим их графики.

A) \( y = 2x^2 + 1 \)

1. Идентификация функции: Это квадратичная функция (парабола), поскольку она имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = 2 \), \( b = 0 \), \( c = 1 \).

2. Ветви: Поскольку \( a > 0 \), ветви параболы открываются вверх.

3. Вершина параболы: Вершина такой функции находится в точке: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0 \] Подставляем это значение в уравнение функции, чтобы найти \( y \): \[ y = 2(0)^2 + 1 = 1 \] Таким образом, координаты вершины: \( (0, 1) \).

4. Нахождение значений: Для построения графика, выберем несколько значений \( x \):

   • \( x = -2 \): \( y = 2(-2)^2 + 1 = 8 + 1 = 9 \)
   • \( x = -1 \): \( y = 2(-1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3 \)
   • \( x = 0 \): \( y = 1 \) (в вершине)
   • \( x = 1 \): \( y = 2(1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3 \)
   • \( x = 2 \): \( y = 2(2)^2 + 1 = 8 + 1 = 9 \)

5. Построение графика: Наносим на координатную плоскость точки \( (-2, 9) \), \( (-1, 3) \), \( (0, 1) \), \( (1, 3) \), \( (2, 9) \) и соединяем их, чтобы получить параболу.

B) \( y = (x + 1)^2 \)

1. Идентификация: Это также квадратичная функция, в явной форме \( (x - h)^2 + k \), где \( h = -1 \), \( k = 0 \).

2. Вершина: Вершина этой параболы находится в точке \( (-1, 0) \).

3. Нахождение значений:

   • \( x = -3 \): \( y = (-3 + 1)^2 = (-2)^2 = 4 \)
   • \( x = -2 \): \( y = (-2 + 1)^2 = (-1)^2 = 1 \)
   • \( x = 0 \): \( y = (0 + 1)^2 = 1^2 = 1 \)
   • \( x = 1 \): \( y = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4 \)
   • \( x = 2 \): \( y = (2 + 1)^2 = 3^2 = 9 \)

4. Построение графика: Точки для графика: \( (-3, 4) \), \( (-2, 1) \), \( (-1, 0) \), \( (0, 1) \), \( (1, 4) \), \( (2, 9) \). Соединяем точки для получения параболы, открывающейся вверх.

C) \( y = (x^2 + 4) - 3 \)

1. Упрощение: Упрощаем уравнение: \[ y = x^2 + 4 - 3 = x^2 + 1 \]

2. Идентификация: Это снова квадратичная функция, имеющая вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = 1 \), \( b = 0 \), \( c = 1 \).

3. Вершина: Находим вершину: \[ x = -\frac{b}{2a} = 0 \] Подставим: \[ y = 1 \] Вершина находится в точке \( (0, 1) \).

4. Нахождение значений:

   • \( x = -2 \): \( y = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \)
   • \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \)
   • \( x = 0 \): \( y = 1 \) (в вершине)
   • \( x = 1 \): \( y = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \)
   • \( x = 2 \): \( y = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \)

5. Построение графика: Точки: \( (-2, 5) \), \( (-1, 2) \), \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, 5) \). Соединяем эти точки, чтобы получить параболу.

Заключение

Итак, вы построили графики трех функций:

• Для функции A: пeрвая парабола, вершина (0, 1).
• Для функции B: вторая парабола, вершина (-1, 0).
• Для функции C: третья парабола, вершина (0, 1).

Эти графики будут похожи на стандартные параболы, но с различными высотами и расположением на координатной плоскости.