Найдите пятый член арифметической прогрессии, если её второй член равен 2 + √3 а шестой равен 6 - 3√3
Арифметическая прогрессия (АП) – это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Эта разность называется "разностью прогрессии".
Задача состоит в том, чтобы найти пятый член АП, если известны второй и шестой её члены.
Обозначим первый член прогрессии как \( a_1 \), а разность прогрессии как \( d \).
Согласно определению АП, можно записать:
- Второй член ( \( a_2 \) ):
\[ a_2 = a_1 + d \] - Шестой член ( \( a_6 \) ):
\[ a_6 = a_1 + 5d \]
Специфицируем значения:
- \( a_2 = 2 + \sqrt{3} \)
- \( a_6 = 6 - 3\sqrt{3} \)
Теперь мы можем записать систему уравнений:
- \( a_1 + d = 2 + \sqrt{3} \) (1)
- \( a_1 + 5d = 6 - 3\sqrt{3} \) (2)
Теперь выразим \( a_1 \) из уравнения (1):
\[ a_1 = (2 + \sqrt{3}) - d \]
Подставим это выражение для \( a_1 \) в уравнение (2):
\[ ((2 + \sqrt{3}) - d) + 5d = 6 - 3\sqrt{3} \]
Упростим уравнение:
\[ 2 + \sqrt{3} - d + 5d = 6 - 3\sqrt{3} \]
Сложим \( -d \) и \( 5d \):
\[ 2 + \sqrt{3} + 4d = 6 - 3\sqrt{3} \]
Теперь перенесем 2 и \( \sqrt{3} \) на правую сторону:
\[ 4d = 6 - 2 - 3\sqrt{3} - \sqrt{3} \] \[ 4d = 4 - 4\sqrt{3} \]
Теперь разделим обе стороны на 4:
\[ d = 1 - \sqrt{3} \]
Теперь, зная \( d \), подставим его обратно в уравнение (1) для нахождения \( a_1 \):
\[ a_1 + (1 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} \] \[ a_1 = 2 + \sqrt{3} - (1 - \sqrt{3}) \] \[ a_1 = 2 + \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} \] \[ a_1 = 1 + 2\sqrt{3} \]
Теперь, чтобы найти пятый член ( \( a_5 \) ), используем формулу для \( a_5 \):
\[ a_5 = a_1 + 4d \]
Подставим найденные значения:
\[ a_5 = (1 + 2\sqrt{3}) + 4(1 - \sqrt{3}) \] \[ a_5 = 1 + 2\sqrt{3} + 4 - 4\sqrt{3} \] \[ a_5 = 5 - 2\sqrt{3} \]
Таким образом, пятый член арифметической прогрессии равен:
\[ \boxed{5 - 2\sqrt{3}} \]
