Арифметическая прогрессия (АП) – это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Эта разность называется "разностью прогрессии".
Задача состоит в том, чтобы найти пятый член АП, если известны второй и шестой её члены.
Обозначим первый член прогрессии как ( a_1 ), а разность прогрессии как ( d ).
Согласно определению АП, можно записать:
- Второй член ( ( a_2 ) ):
[
a_2 = a_1 + d
]
- Шестой член ( ( a_6 ) ):
[
a_6 = a_1 + 5d
]
Специфицируем значения:
- ( a_2 = 2 + \sqrt{3} )
- ( a_6 = 6 - 3\sqrt{3} )
Теперь мы можем записать систему уравнений:
- ( a_1 + d = 2 + \sqrt{3} ) (1)
- ( a_1 + 5d = 6 - 3\sqrt{3} ) (2)
Теперь выразим ( a_1 ) из уравнения (1):
[
a_1 = (2 + \sqrt{3}) - d
]
Подставим это выражение для ( a_1 ) в уравнение (2):
[
((2 + \sqrt{3}) - d) + 5d = 6 - 3\sqrt{3}
]
Упростим уравнение:
[
2 + \sqrt{3} - d + 5d = 6 - 3\sqrt{3}
]
Сложим ( -d ) и ( 5d ):
[
2 + \sqrt{3} + 4d = 6 - 3\sqrt{3}
]
Теперь перенесем 2 и ( \sqrt{3} ) на правую сторону:
[
4d = 6 - 2 - 3\sqrt{3} - \sqrt{3}
]
[
4d = 4 - 4\sqrt{3}
]
Теперь разделим обе стороны на 4:
[
d = 1 - \sqrt{3}
]
Теперь, зная ( d ), подставим его обратно в уравнение (1) для нахождения ( a_1 ):
[
a_1 + (1 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3}
]
[
a_1 = 2 + \sqrt{3} - (1 - \sqrt{3})
]
[
a_1 = 2 + \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3}
]
[
a_1 = 1 + 2\sqrt{3}
]
Теперь, чтобы найти пятый член ( ( a_5 ) ), используем формулу для ( a_5 ):
[
a_5 = a_1 + 4d
]
Подставим найденные значения:
[
a_5 = (1 + 2\sqrt{3}) + 4(1 - \sqrt{3})
]
[
a_5 = 1 + 2\sqrt{3} + 4 - 4\sqrt{3}
]
[
a_5 = 5 - 2\sqrt{3}
]
Таким образом, пятый член арифметической прогрессии равен:
[
\boxed{5 - 2\sqrt{3}}
]
