Длинное основание AN равнобедренной трапеции ABCN равно 14 см, короткое основание ВС и боковые стороны равны. Определи периметр трапеции, если острый угол трапеции равен 80°

Чтобы найти периметр равнобедренной трапеции \(ABCN\), нужно сначала определить длину короткого основания \(BC\) и длину боковых сторон \(AB\) и \(AN\), которые равны.

Обозначим длину боковой стороны \(AB = AN = x\) см. В равнобедренной трапеции проведем высоту \(h\) из точки \(B\) на основание \(AN\) и обозначим точку пересечения как \(D\). Углы \(BAD\) и \(CDA\) равны по 80°, следовательно, угол \(ADB = 90° - 80° = 10°\).

В треугольнике \(ABD\) можно использовать тригонометрию, чтобы выразить высоту и основание. По определению синуса:

\[ h = AD = AB \cdot \sin(80°) = x \cdot \sin(80°) \]

По определению косинуса:

\[ AD = x \cdot \cos(80°) \]

Так как \(AD\) является половиной \(BC\):

\[ BC = 2 \cdot AD = 2 \cdot x \cdot \cos(80°) \]

Теперь, зная, что \(AN = 14\) см, можем записать уравнение для одной из верхних сторон:

\[ BC = AN - 2 \cdot AD = 14 - 2 \cdot x \cdot \cos(80°) \]

Подставив \(BC\) из первого уравнения во второе, получаем:

\[ 2 \cdot x \cdot \cos(80°) = 14 - x \cdot \sin(80°) \]

Решим это уравнение для \(x\):

\[ 2x \cdot \cos(80°) + x \cdot \sin(80°) = 14 \]

\[ x (2 \cdot \cos(80°) + \sin(80°)) = 14 \]

\[ x = \frac{14}{2 \cdot \cos(80°) + \sin(80°)} \]

Подставляем значения \( \cos(80°) \) и \( \sin(80°) \):

\[ \cos(80°) \approx 0.1736 \] \[ \sin(80°) \approx 0.9848 \]

Тогда:

\[ x = \frac{14}{2 \cdot 0.1736 + 0.9848} \approx \frac{14}{0.3472 + 0.9848} \approx \frac{14}{1.332} \approx 10.52 \, \text{см} \]

Теперь можно найти \(BC\):

\[ BC = 2 \cdot x \cdot \cos(80°) \approx 2 \cdot 10.52 \cdot 0.1736 \approx 3.66 \, \text{см} \]

Теперь найдем периметр трапеции \(P = AN + BC + 2 \cdot AB\):

\[ P = 14 + 3.66 + 2 \cdot 10.52 \approx 14 + 3.66 + 21.04 \approx 38.7 \, \text{см} \]

Таким образом, периметр трапеции равен approximately \(38.7\) см.