при каких а уравнение (а+7)х2 + (а-1)х +1=0 имеет единственное решение
Чтобы понять, при каких значениях параметра \( a \) уравнение \((a + 7)x^2 + (a - 1)x + 1 = 0\) имеет единственное решение, следует рассмотреть его как квадратное уравнение вида \( Ax^2 + Bx + C = 0 \), где:
- \( A = a + 7 \)
- \( B = a - 1 \)
- \( C = 1 \)
У квадратного уравнения есть единственное решение в случае, если его дискриминант равен нулю. Дискриминант \( D \) для квадратного уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) вычисляется по формуле:
\[ D = B^2 - 4AC \]
Подставим наши значения \( A \), \( B \) и \( C \) в формулу для дискриминанта:
\[ D = (a - 1)^2 - 4(a + 7) \cdot 1 \] \[ D = (a - 1)^2 - 4(a + 7) \]
Теперь упростим это выражение:
- Вычислим \( (a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1 \).
- Вычислим \( 4(a + 7) = 4a + 28 \).
Теперь подставим эти выражения в формулу для дискриминанта:
\[ D = (a^2 - 2a + 1) - (4a + 28) \] \[ D = a^2 - 2a + 1 - 4a - 28 \] \[ D = a^2 - 6a - 27 \]
Теперь, чтобы у уравнения было единственное решение, требуется, чтобы дискриминант равнялся нулю:
\[ a^2 - 6a - 27 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с использованием формулы корней:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Где \( a = 1, b = -6, c = -27 \):
- Находим дискриминант для нашего уравнения:
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 \]
- Теперь находим корни:
\[ a = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 12}{2} \]
Таким образом:
\[ a_1 = \frac{18}{2} = 9 \] \[ a_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Таким образом, уравнение \((a + 7)x^2 + (a - 1)x + 1 = 0\) имеет единственное решение при \( a = 9 \) или \( a = -3 \).
