Чтобы понять, при каких значениях параметра ( a ) уравнение ((a + 7)x^2 + (a - 1)x + 1 = 0) имеет единственное решение, следует рассмотреть его как квадратное уравнение вида ( Ax^2 + Bx + C = 0 ), где:
- ( A = a + 7 )
- ( B = a - 1 )
- ( C = 1 )
У квадратного уравнения есть единственное решение в случае, если его дискриминант равен нулю. Дискриминант ( D ) для квадратного уравнения ( Ax^2 + Bx + C = 0 ) вычисляется по формуле:
[
D = B^2 - 4AC
]
Подставим наши значения ( A ), ( B ) и ( C ) в формулу для дискриминанта:
[
D = (a - 1)^2 - 4(a + 7) \cdot 1
]
[
D = (a - 1)^2 - 4(a + 7)
]
Теперь упростим это выражение:
- Вычислим ( (a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1 ).
- Вычислим ( 4(a + 7) = 4a + 28 ).
Теперь подставим эти выражения в формулу для дискриминанта:
[
D = (a^2 - 2a + 1) - (4a + 28)
]
[
D = a^2 - 2a + 1 - 4a - 28
]
[
D = a^2 - 6a - 27
]
Теперь, чтобы у уравнения было единственное решение, требуется, чтобы дискриминант равнялся нулю:
[
a^2 - 6a - 27 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с использованием формулы корней:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Где ( a = 1, b = -6, c = -27 ):
- Находим дискриминант для нашего уравнения:
[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144
]
- Теперь находим корни:
[
a = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 12}{2}
]
Таким образом:
[
a_1 = \frac{18}{2} = 9
]
[
a_2 = \frac{-6}{2} = -3
]
Таким образом, уравнение ((a + 7)x^2 + (a - 1)x + 1 = 0) имеет единственное решение при ( a = 9 ) или ( a = -3 ).
