Для решения задачи начнем с обозначения переменных. Пусть:
- ( L ) — длина прямоугольника (в см).
- ( W ) — ширина прямоугольника (в см).
Площадь прямоугольника можно выразить как:
[
S_{\text{прямоугольника}} = L \times W
]
Согласно условию задачи, если длину уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат. Обозначим сторону этого квадрата как ( a ). Таким образом, мы можем записать два уравнения:
Левая сторона квадрата:
[
a = L - 4
]
Правая сторона квадрата:
[
a = W + 5
]
Теперь, равняем оба выражения для ( a ):
[
L - 4 = W + 5
]
Решая это уравнение получаем:
[
L - W = 9 \quad (1)
]
Площадь квадрата, по условию, больше площади прямоугольника на 40 см². Площадь квадрата можно выразить как:
[
S_{\text{квадрата}} = a^2
]
А следовательно, по условию задачи:
[
a^2 = S_{\text{прямоугольника}} + 40
]
Подставим ( a ):
[
(L - 4)^2 = L \cdot W + 40 \quad (2)
]
Теперь раскроем скобки в (2):
[
L^2 - 8L + 16 = L \cdot W + 40
]
Переносим все члены в одну сторону:
[
L^2 - 8L + 16 - L \cdot W - 40 = 0
]
[
L^2 - L \cdot W - 8L - 24 = 0 \quad (3)
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений: (1) и (3).
Из (1) выразим ( W ):
[
W = L - 9
]
Подставим это значение ( W ) в (3):
[
L^2 - L(L - 9) - 8L - 24 = 0
]
[
L^2 - (L^2 - 9L) - 8L - 24 = 0
]
[
L^2 - L^2 + 9L - 8L - 24 = 0
]
[
L - 24 = 0
]
Отсюда имеет:
[
L = 24
]
Теперь, подставим ( L ) обратно в (1), чтобы найти ( W ):
[
W = 24 - 9 = 15
]
Теперь можем вычислить площадь прямоугольника:
[
S_{\text{прямоугольника}} = L \times W = 24 \times 15 = 360 , \text{см}^2
]
Таким образом, площадь прямоугольника составляет 360 см².
