если длину прямоугольника уменьшить на 4 см а ширину увеличить на 5 см то получится квадрат площадь которого больше площади прямоугольника на 40 см². найдите площадь прямоугольника
Для решения задачи начнем с обозначения переменных. Пусть:
- \( L \) — длина прямоугольника (в см).
- \( W \) — ширина прямоугольника (в см).
Площадь прямоугольника можно выразить как:
\[ S_{\text{прямоугольника}} = L \times W \]
Согласно условию задачи, если длину уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат. Обозначим сторону этого квадрата как \( a \). Таким образом, мы можем записать два уравнения:
Левая сторона квадрата: \[ a = L - 4 \]
Правая сторона квадрата: \[ a = W + 5 \]
Теперь, равняем оба выражения для \( a \): \[ L - 4 = W + 5 \]
Решая это уравнение получаем: \[ L - W = 9 \quad (1) \]
Площадь квадрата, по условию, больше площади прямоугольника на 40 см². Площадь квадрата можно выразить как: \[ S_{\text{квадрата}} = a^2 \]
А следовательно, по условию задачи: \[ a^2 = S_{\text{прямоугольника}} + 40 \]
Подставим \( a \): \[ (L - 4)^2 = L \cdot W + 40 \quad (2) \]
Теперь раскроем скобки в (2): \[ L^2 - 8L + 16 = L \cdot W + 40 \]
Переносим все члены в одну сторону: \[ L^2 - 8L + 16 - L \cdot W - 40 = 0 \] \[ L^2 - L \cdot W - 8L - 24 = 0 \quad (3) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений: (1) и (3).
Из (1) выразим \( W \): \[ W = L - 9 \]
Подставим это значение \( W \) в (3): \[ L^2 - L(L - 9) - 8L - 24 = 0 \] \[ L^2 - (L^2 - 9L) - 8L - 24 = 0 \] \[ L^2 - L^2 + 9L - 8L - 24 = 0 \] \[ L - 24 = 0 \] Отсюда имеет: \[ L = 24 \]
Теперь, подставим \( L \) обратно в (1), чтобы найти \( W \): \[ W = 24 - 9 = 15 \]
Теперь можем вычислить площадь прямоугольника: \[ S_{\text{прямоугольника}} = L \times W = 24 \times 15 = 360 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь прямоугольника составляет 360 см².
