формула Виета формула корней

Формула Виета — это важный инструмент в алгебре, который связывает коэффициенты квадратного (и более высокого) уравнения с его корнями. Рассмотрим квадратное уравнение общего вида:

\[ ax^2 + bx + c = 0, \]

где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, а \( a \neq 0 \).

Формулы Виета

Если \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни данного уравнения (то есть значения \( x \), при которых уравнение равно нулю), то формулы Виета утверждают следующее:

1. Сумма корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]

2. Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

Пошаговое объяснение

Рассмотрим, как эти формулы работают на практике.

1. Сумма корней: Если вы знаете значения \( b \) и \( a \), вы можете быстро найти сумму корней. Например, для уравнения \( 2x^2 + 4x - 6 = 0 \):

   • Здесь \( a = 2 \) и \( b = 4 \).
   • Подставим в формулу суммы корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{4}{2} = -2. \]

2. Произведение корней: Аналогично, вы можете использовать значение \( c \) для нахождения произведения корней:

   • \( c = -6 \), следовательно: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-6}{2} = -3. \]

Пример

Рассмотрим конкретное уравнение: \( 2x^2 + 4x - 6 = 0 \).

1. Вычислим дискриминант, чтобы найти корни: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64. \]

2. Найдем корни с помощью формулы квадратного уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 8}{4}. \] Корни:

   • \( x_1 = \frac{4}{4} = 1 \)
   • \( x_2 = \frac{-12}{4} = -3 \)

3. Проверим формулы Виета:

   • Сумма корней: \( x_1 + x_2 = 1 - 3 = -2 \) (согласуется с нашей формулой).
   • Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-3) = -3 \) (также согласуется).

Заключение

Формулы Виета помогают быстро находить связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Нужно просто помнить, что сумма корней равна отрицательному отношению \( b \) к \( a \), а произведение — отношению \( c \) к \( a \). Это полезный инструмент как для проверки работы, так и для быстрого получения информации о корнях уравнения.