Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Пусть производительность первой трубы равна ( x ) литров в минуту.
- Производительность второй трубы тогда будет ( x + 2 ) литра в минуту, поскольку первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая.
- Объем резервуара составляет 70 литров.
- Первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше, чем вторая труба.
Найдём время заполнения резервуара обеими трубами.
Время, за которое первая труба заполнит резервуар, можно выразить формулой:
[
t_1 = \frac{70}{x}
]
где ( t_1 ) — время в минутах, за которое первая труба заполняет резервуар.
Время, за которое вторая труба заполнит резервуар:
[
t_2 = \frac{70}{x + 2}
]
где ( t_2 ) — время в минутах, за которое вторая труба заполняет резервуар.
Условие задачи говорит, что первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше, чем вторая:
[
t_1 = t_2 + 4
]
Подставим формулы для времени в это уравнение:
[
\frac{70}{x} = \frac{70}{x + 2} + 4
]
Теперь решим это уравнение.
Умножим все части уравнения на ( x(x + 2) ) для устранения знаменателей:
[
70(x + 2) = 70x + 4x(x + 2)
]
Это приводит к:
[
70x + 140 = 70x + 4x^2 + 8x
]
Упрощаем:
[
140 = 4x^2 + 8x
]
Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
[
4x^2 + 8x - 140 = 0
]
Упростим уравнение, разделив все на 4:
[
x^2 + 2x - 35 = 0
]
Теперь применим квадратное уравнение ( ax^2 + bx + c = 0 ):
- ( a = 1 )
- ( b = 2 )
- ( c = -35 )
Используем формулу для дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144
]
Находим корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 12}{2}
]
Получаем два возможных значения для ( x ):
- ( x_1 = \frac{10}{2} = 5 )
- ( x_2 = \frac{-14}{2} = -7 ) (корень не подходит, так как производительность не может быть отрицательной)
Таким образом, ( x = 5 ) литров в минуту.
Ответ:
Первая труба пропускает 5 литров воды в минуту.
Дополнительно: Вторая труба будет пропускать ( x + 2 = 7 ) литров в минуту.
