Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 51 км ч, а вторую половину пути…

Чтобы понять, как решить эту задачу, давайте начнем с того, что введем некоторые обозначения:

1. Пусть \( S \) - это весь путь от А до В.
2. \( v_1 \) - скорость первого автомобиля (в км/ч).
3. Скорость второго автомобиля для первой половины пути равна \( v_2 = 51 \) км/ч.
4. Для второй половины пути скорость второго автомобиля равна \( v_3 = v_1 + 34 \) км/ч.

Теперь давайте разберем, как проезжают оба автомобиля.

Время, затраченное первым автомобилем:

Первый автомобиль проезжает весь путь \( S \) со скоростью \( v_1 \). Время, затраченное первым автомобилем, можно выразить так: \[ t_1 = \frac{S}{v_1} \]

Время, затраченное вторым автомобилем:

Второй автомобиль проходит первую половину пути \( \frac{S}{2} \) со скоростью \( v_2 \) и вторую половину пути также \( \frac{S}{2} \) со скоростью \( v_3 \).

1. Время для первой половины пути: \[ t_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{S/2}{51} = \frac{S}{102} \]

2. Время для второй половины пути: \[ t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{v_3} = \frac{S/2}{v_1 + 34} \]

Таким образом, общее время, затраченное вторым автомобилем: \[ t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{S}{102} + \frac{S/2}{v_1 + 34} \]

Условие задачи:

По условию задачи оба автомобиля прибыли одновременно, то есть \( t_1 = t_2 \). Это можно записать так: \[ \frac{S}{v_1} = \frac{S}{102} + \frac{S/2}{v_1 + 34} \]

Теперь упростим это уравнение, сократив на \( S \) (при условии, что \( S \neq 0 \)): \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{102} + \frac{1/2}{v_1 + 34} \]

Теперь умножим все члены на \( 102v_1(v_1 + 34) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 102(v_1 + 34) = 102v_1 + \frac{102v_1}{2} \]

Упростим это уравнение: \[ 102v_1 + 3468 = 102v_1 + 51v_1 \] Переписываем: \[ 3468 = 51v_1 \]

Теперь найдем скорость первого автомобиля \( v_1 \): \[ v_1 = \frac{3468}{51} = 68 \text{ км/ч} \]

Ответ:

Скорость первого автомобиля равна \( 68 \) км/ч.