Бригада рабочих могла выполнить всю работу за 24 ч, если бы работали одновременно все рабочие. Однако по плану в первый час работал один рабочий, во второй час — 2 рабочих, в…
Бригада рабочих могла выполнить всю работу за 24 ч, если бы работали одновременно все рабочие. Однако по плану в первый час работал один рабочий, во второй час — 2 рабочих, в третий — 3 и т. д. до тех пор, пока в работу не включились все рабочие. И только несколько часов перед завершением работала вся бригада. Время работы, предусмотренное планом, было бы сокращено на 6 часов, если бы с самого начала работы работала бы вся бригада, за исключением пяти рабочих. Найдите количество рабочих.
Для решения этой задачи начнем с обозначения переменных и анализа ситуации.
Обозначим:
- \( n \) — количество рабочих в бригаде.
- \( T \) — количество времени, которое требуется для выполнения работы всей бригадой, то есть 24 часа.
Шаг 1: Выразим объем работы
Вся работа может быть выражена в рабочих-часах. Полный объем работы, который может выполнить вся бригада, равен \( n \times T \). Так как \( T = 24 \), то:
\[ \text{Объем работы} = n \times 24 \]
Шаг 2: Составим уравнение для работы согласно плану
По плану в первый час работал 1 рабочий, во второй час — 2, в третий — 3 и так далее. Это продолжается до тех пор, пока не начнут работать все \( n \) рабочих. То есть, если в первый час работал 1 рабочий, во второй — 2, ... k-й час — k рабочих.
Если \( k \) — это количество часов, в течение которых работали меньше рабочих, то к моменту, когда начали работать все работники, было \( 1 + 2 + 3 + \ldots + k \) рабочих-часов, что равно:
\[ \frac{k(k + 1)}{2} \]
После \( k \)-го часа работают все \( n \) рабочих. Если вся работа занимает 24 часа, это означает, что всего они работают \( 24 - k \) часов. Соответственно, общий объем работы будет равен:
\[ \frac{k(k + 1)}{2} + n(24 - k) \]
Шаг 3: Составим уравнение для работы в случае с 5 рабочими
Теперь, если бы с самого начала работали \( n - 5 \) рабочих, работа завершилась бы на 6 часов раньше, то есть за \( 24 - 6 = 18 \) часов. В таком случае объем работы будет:
\[ (n - 5) \times 18 \]
Шаг 4: Сравнение объемов работы
Мы можем теперь выразить объем работы двумя способами и приравнять их друг к другу:
Для работы по плану: \[ \frac{k(k + 1)}{2} + n(24 - k) = n \times 24 \]
Для работы с 5 рабочими: \[ (n - 5) \times 18 = n \times 24 \]
Шаг 5: Упрощение уравнений
Упрощаем второе уравнение:
\[ 18n - 90 = 24n \] \[ 90 = 6n \] \[ n = 15 \]
Шаг 6: Подстановка и решение первого уравнения
Теперь подставим найденное значение \( n \) обратно в первое уравнение:
\[ \frac{k(k + 1)}{2} + 15(24 - k) = 15 \times 24 \] \[ \frac{k(k + 1)}{2} + 360 - 15k = 360 \]
Упрощаем:
\[ \frac{k(k + 1)}{2} - 15k = 0 \] \[ k(k + 1) - 30k = 0 \] \[ k^2 - 29k = 0 \] Парные корни: \( k(k - 29) = 0 \)
Таким образом, \( k = 0 \) или \( k = 29 \) (что невозможно, так как это больше 24 часов). Значит, \( k = 0 \) — это корректное решение.
Ответ
Таким образом, общее количество рабочих в бригаде составляет \( \boxed{15} \).
