последовательность (bn)-геометрическая прогрессия, найдите b6 если b1=125,b3=5

Чтобы найти шестой элемент геометрической прогрессии \( b_6 \), когда известны первый элемент \( b_1 \) и третий элемент \( b_3 \), воспользуемся формулой для общего члена геометрической прогрессии.

Шаг 1: Запишем формулы для элементов прогрессии

Элементы геометрической прогрессии описываются следующей формулой:

\[ b_n = b_1 \cdot r^{n-1} \]

где:

• \( b_n \) — n-й элемент прогрессии,
• \( b_1 \) — первый элемент,
• \( r \) — знаменатель прогрессии (первый элемент делится на предыдущий),
• \( n \) — номер элемента.

Шаг 2: Используем известные значения

1. Для первого элемента \( b_1 = 125 \): \[ b_1 = 125 \]

2. Для третьего элемента \( b_3 = 5 \): \[ b_3 = b_1 \cdot r^{3-1} = 125 \cdot r^2 = 5 \]

Шаг 3: Найдем знаменатель прогрессии \( r \)

Теперь решим уравнение: \[ 125 \cdot r^2 = 5 \] Разделим обе стороны на 125: \[ r^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25} \]

Теперь найдем значение \( r \): \[ r = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} \quad \text{или} \quad r = -\frac{1}{5} \] (так как мы берем оба возможных значения для \( r \))

Шаг 4: Найдем \( b_6 \)

Теперь, зная \( r \), можем найти \( b_6 \): \[ b_6 = b_1 \cdot r^{6-1} = 125 \cdot r^5 \] Подставим значения для \( r \):

• Для \( r = \frac{1}{5} \): \[ b_6 = 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^5 = 125 \cdot \frac{1}{3125} = \frac{125}{3125} = \frac{1}{25} \]

• Для \( r = -\frac{1}{5} \): \[ b_6 = 125 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^5 = 125 \cdot -\frac{1}{3125} = -\frac{125}{3125} = -\frac{1}{25} \]

Ответ

Таким образом, значение \( b_6 \) для геометрической прогрессии может быть:

• Если \( r = \frac{1}{5} \), то \( b_6 = \frac{1}{25} \).
• Если \( r = -\frac{1}{5} \), то \( b_6 = -\frac{1}{25} \).

В итоге, у нас есть два возможных значения для \( b_6 \): \( \frac{1}{25} \) и \( -\frac{1}{25} \).