Непараллельные стороны квадрата увеличили на 6 см и на 4 см. Чему равно наименьшее натуральное значение длины стороны квадрата, если известно, что площадь полученного…
Непараллельные стороны квадрата увеличили на 6 см и на 4 см. Чему равно наименьшее натуральное значение длины стороны квадрата, если известно, что площадь полученного прямоугольника меньше удвоенной площади квадрата?
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Определим основные величины
Обозначим длину стороны квадрата как \( a \). Площадь квадрата тогда будет равна:
\[ S_{\text{квадрата}} = a^2 \]
Шаг 2: Рассмотрим прямоугольник
Согласно условию задачи, одна сторона квадрата увеличена на 6 см, а другая — на 4 см. Таким образом, длины сторон полученного прямоугольника будут равны:
- Длина одной стороны: \( a + 6 \)
- Длина другой стороны: \( a + 4 \)
Теперь найдем площадь этого прямоугольника:
\[ S_{\text{прямоугольника}} = (a + 6)(a + 4) \]
Шаг 3: Найдем выражение для площади прямоугольника
Теперь раскроем скобки в площади прямоугольника:
\[ S_{\text{прямоугольника}} = (a + 6)(a + 4) = a^2 + 4a + 6a + 24 = a^2 + 10a + 24 \]
Шаг 4: Условие задачи
Согласно условию, площадь полученного прямоугольника должна быть меньше удвоенной площади квадрата:
\[ S_{\text{прямоугольника}} < 2 \cdot S_{\text{квадрата}} \]
Подставим наши выражения:
\[ a^2 + 10a + 24 < 2a^2 \]
Шаг 5: Упрощение неравенства
Теперь упростим неравенство:
\[ a^2 + 10a + 24 < 2a^2 \]
Переносим все в одну часть:
\[ 0 < 2a^2 - a^2 - 10a - 24 \]
Это приводит к:
\[ 0 < a^2 - 10a - 24 \]
Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения
Теперь решим уравнение:
\[ a^2 - 10a - 24 = 0 \]
Используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):
\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 \]
Корни уравнения:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 14}{2} \]
Таким образом, мы получаем два корня:
\[ a_1 = \frac{24}{2} = 12, \quad a_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Шаг 7: Условие для \( a \)
Так как длина стороны квадрата должна быть натуральным числом, принимаем только положительное значение корня:
\[ a \geq 12 \]
Шаг 8: Проверка
Наименьшее натуральное значение для стороны квадрата — \( a = 12 \).
Теперь проверим условие:
- Площадь квадрата: \( 12^2 = 144 \).
- Площадь прямоугольника: \( (12 + 6)(12 + 4) = 18 \cdot 16 = 288 \).
- Удвоенная площадь квадрата: \( 2 \cdot 144 = 288 \).
Проверка показывает, что площадь прямоугольника меньше удвоенной площади квадрата при \( a > 12 \). Таким образом:
Ответ
Наименьшее натуральное значение длины стороны квадрата равно \( a = 12 \).
