Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Определим основные величины
Обозначим длину стороны квадрата как ( a ). Площадь квадрата тогда будет равна:
[
S_{\text{квадрата}} = a^2
]
Шаг 2: Рассмотрим прямоугольник
Согласно условию задачи, одна сторона квадрата увеличена на 6 см, а другая — на 4 см. Таким образом, длины сторон полученного прямоугольника будут равны:
- Длина одной стороны: ( a + 6 )
- Длина другой стороны: ( a + 4 )
Теперь найдем площадь этого прямоугольника:
[
S_{\text{прямоугольника}} = (a + 6)(a + 4)
]
Шаг 3: Найдем выражение для площади прямоугольника
Теперь раскроем скобки в площади прямоугольника:
[
S_{\text{прямоугольника}} = (a + 6)(a + 4) = a^2 + 4a + 6a + 24 = a^2 + 10a + 24
]
Шаг 4: Условие задачи
Согласно условию, площадь полученного прямоугольника должна быть меньше удвоенной площади квадрата:
[
S_{\text{прямоугольника}} < 2 \cdot S_{\text{квадрата}}
]
Подставим наши выражения:
[
a^2 + 10a + 24 < 2a^2
]
Шаг 5: Упрощение неравенства
Теперь упростим неравенство:
[
a^2 + 10a + 24 < 2a^2
]
Переносим все в одну часть:
[
0 < 2a^2 - a^2 - 10a - 24
]
Это приводит к:
[
0 < a^2 - 10a - 24
]
Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения
Теперь решим уравнение:
[
a^2 - 10a - 24 = 0
]
Используем дискриминант ( D = b^2 - 4ac ):
[
D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196
]
Корни уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 14}{2}
]
Таким образом, мы получаем два корня:
[
a_1 = \frac{24}{2} = 12, \quad a_2 = \frac{-4}{2} = -2
]
Шаг 7: Условие для ( a )
Так как длина стороны квадрата должна быть натуральным числом, принимаем только положительное значение корня:
[
a \geq 12
]
Шаг 8: Проверка
Наименьшее натуральное значение для стороны квадрата — ( a = 12 ).
Теперь проверим условие:
- Площадь квадрата: ( 12^2 = 144 ).
- Площадь прямоугольника: ( (12 + 6)(12 + 4) = 18 \cdot 16 = 288 ).
- Удвоенная площадь квадрата: ( 2 \cdot 144 = 288 ).
Проверка показывает, что площадь прямоугольника меньше удвоенной площади квадрата при ( a > 12 ). Таким образом:
Ответ
Наименьшее натуральное значение длины стороны квадрата равно ( a = 12 ).
