Решите на обществе r неравенства (2x + 1) (3 - x) (x + 5) больше или равно нулю

Чтобы решить неравенство \((2x + 1)(3 - x)(x + 5) \geq 0\), следуем пошагово: ### Шаг 1: Найдите нули (корни) функции Сначала определим, при каких значениях \(x\) произведение равно нулю. Это значит, что нужно решить уравнения для каждого множителя: 1. \(2x + 1 = 0\) \[ 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \] 2. \(3 - x = 0\) \[ x = 3 \] 3. \(x + 5 = 0\) \[ x = -5 \] Таким образом, корни: \(x = -5\), \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = 3\). ### Шаг 2: Определите промежутки Теперь у нас есть три корня. Эти значения делят числовую прямую на четыре промежутка: 1. \((- \infty, -5)\) 2. \((-5, -\frac{1}{2})\) 3. \((- \frac{1}{2}, 3)\) 4. \((3, +\infty)\) ### Шаг 3: Проверка знаков в каждом промежутке Теперь нужно выбрать тестовые значения из каждого промежутка и определить, будет ли произведение положительным или отрицательным. 1. **Промежуток \((- \infty, -5)\)**: Выберем \(x = -6\): \[(2(-6) + 1)(3 - (-6))((-6) + 5) = (-12 + 1)(3 + 6)(-1) = (-11)(9)(-1) = 99 > 0\] Значит, на этом промежутке значение положительное. 2. **Промежуток \((-5, -\frac{1}{2})\)**: Выберем \(x = -1\): \[(2(-1) + 1)(3 - (-1))((-1) + 5) = (-2 + 1)(3 + 1)(4) = (-1)(4)(4) = -16 < 0\] Значит, на этом промежутке значение отрицательное. 3. **Промежуток \((- \frac{1}{2}, 3)\)**: Выберем \(x = 0\): \[(2(0) + 1)(3 - (0))(0 + 5) = (0 + 1)(3)(5) = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15 > 0\] Значит, на этом промежутке значение положительное. 4. **Промежуток \((3, +\infty)\)**: Выберем \(x = 4\): \[(2(4) + 1)(3 - 4)(4 + 5) = (8 + 1)(-1)(9) = 9 \cdot (-1) \cdot 9 = -81 < 0\] Значит, на этом промежутке значение отрицательное. ### Шаг 4: Составление знакового графика На основе вышеописанного у нас есть следующие знаки в промежутках: - \( (- \infty, -5) \) : + - \( (-5, -\frac{1}{2}) \) : - - \( (-\frac{1}{2}, 3) \) : + - \( (3, +\infty) \) : - ### Шаг 5: Учёт нулей Теперь определим, где функция больше или равна нулю. Мы включаем корни, потому что неравенство \(\geq 0\) позволяет иметь нули: - Положительные значения: \((- \infty, -5)\) и \((- \frac{1}{2}, 3)\) - Нули: \(x = -5\), \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = 3\) ### Итог Таким образом, решение неравенства \((2x + 1)(3 - x)(x + 5) \geq 0\): \[ x \in (-\infty, -5] \cup [-\frac{1}{2}, 3] \]