решите на обществе r неравенства (2x + 1) (3 - x) (x + 5) больше или равно нулю

Чтобы решить неравенство \((2x + 1)(3 - x)(x + 5) \geq 0\), следуем пошагово:

Шаг 1: Найдите нули (корни) функции

Сначала определим, при каких значениях \(x\) произведение равно нулю. Это значит, что нужно решить уравнения для каждого множителя:

1. \(2x + 1 = 0\)
   \[ 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \]

2. \(3 - x = 0\)
   \[ x = 3 \]

3. \(x + 5 = 0\)
   \[ x = -5 \]

Таким образом, корни: \(x = -5\), \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = 3\).

Шаг 2: Определите промежутки

Теперь у нас есть три корня. Эти значения делят числовую прямую на четыре промежутка:

1. \((- \infty, -5)\)
2. \((-5, -\frac{1}{2})\)
3. \((- \frac{1}{2}, 3)\)
4. \((3, +\infty)\)

Шаг 3: Проверка знаков в каждом промежутке

Теперь нужно выбрать тестовые значения из каждого промежутка и определить, будет ли произведение положительным или отрицательным.

1. Промежуток \((- \infty, -5)\):
   Выберем \(x = -6\):
   \[(2(-6) + 1)(3 - (-6))((-6) + 5) = (-12 + 1)(3 + 6)(-1) = (-11)(9)(-1) = 99 > 0\]
   Значит, на этом промежутке значение положительное.

2. Промежуток \((-5, -\frac{1}{2})\):
   Выберем \(x = -1\):
   \[(2(-1) + 1)(3 - (-1))((-1) + 5) = (-2 + 1)(3 + 1)(4) = (-1)(4)(4) = -16 < 0\]
   Значит, на этом промежутке значение отрицательное.

3. Промежуток \((- \frac{1}{2}, 3)\):
   Выберем \(x = 0\):
   \[(2(0) + 1)(3 - (0))(0 + 5) = (0 + 1)(3)(5) = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15 > 0\]
   Значит, на этом промежутке значение положительное.

4. Промежуток \((3, +\infty)\):
   Выберем \(x = 4\):
   \[(2(4) + 1)(3 - 4)(4 + 5) = (8 + 1)(-1)(9) = 9 \cdot (-1) \cdot 9 = -81 < 0\]
   Значит, на этом промежутке значение отрицательное.

Шаг 4: Составление знакового графика

На основе вышеописанного у нас есть следующие знаки в промежутках:

• \( (- \infty, -5) \) : +
• \( (-5, -\frac{1}{2}) \) : -
• \( (-\frac{1}{2}, 3) \) : +
• \( (3, +\infty) \) : -

Шаг 5: Учёт нулей

Теперь определим, где функция больше или равна нулю. Мы включаем корни, потому что неравенство \(\geq 0\) позволяет иметь нули:

• Положительные значения: \((- \infty, -5)\) и \((- \frac{1}{2}, 3)\)
• Нули: \(x = -5\), \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = 3\)

Итог

Таким образом, решение неравенства \((2x + 1)(3 - x)(x + 5) \geq 0\): \[ x \in (-\infty, -5] \cup [-\frac{1}{2}, 3] \]