Реши систему сложения {1/4х-1/3у=4 {4/5х-3у=7

Давайте решим систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{4}x - \frac{1}{3}y = 4 \quad (1) \\ \frac{4}{5}x - 3y = 7 \quad (2) \end{cases} \] ### Шаг 1: Приведение уравнений к удобному виду Начнем с того, что избавимся от дробей в первом уравнении. Для этого умножим все члены первого уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3): \[ 12\left(\frac{1}{4}x\right) - 12\left(\frac{1}{3}y\right) = 12 \cdot 4 \] Это дает: \[ 3x - 4y = 48 \quad (3) \] Теперь второе уравнение умножим на 5, чтобы избавиться от дробей: \[ 5\left(\frac{4}{5}x\right) - 5(3y) = 5 \cdot 7 \] Это дает: \[ 4x - 15y = 35 \quad (4) \] Теперь у нас есть новая система уравнений: \[ \begin{cases} 3x - 4y = 48 \quad (3) \\ 4x - 15y = 35 \quad (4) \end{cases} \] ### Шаг 2: Устранение одной переменной Мы можем выразить одну переменную через другую. Давайте выразим \(x\) из уравнения (3): \[ 3x = 4y + 48 \\ x = \frac{4y + 48}{3} \quad (5) \] Теперь подставим (5) во второе уравнение (4): \[ 4\left(\frac{4y + 48}{3}\right) - 15y = 35 \] Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дроби: \[ 4(4y + 48) - 45y = 105 \] Раскроем скобки: \[ 16y + 192 - 45y = 105 \] Соберем все \(y\) в одну сторону: \[ -29y + 192 = 105 \] Теперь перенесем 192 в правую часть: \[ -29y = 105 - 192 \\ -29y = -87 \] Разделим обе стороны на -29: \[ y = \frac{87}{29} = 3 \] ### Шаг 3: Находим значение x Теперь, когда мы знаем \(y\), подставим его обратно в (5): \[ x = \frac{4 \cdot 3 + 48}{3} \\ x = \frac{12 + 48}{3} \\ x = \frac{60}{3} = 20 \] ### Ответ Таким образом, мы получили решение системы: \[ x = 20, \quad y = 3 \] Эти значения удовлетворяют обоим уравнениям в системе.