Найди сумму первых восьми членов геометрической прогрессии ( b n ) (b n ) , если b 1 = − 3 b 1 =−3 , q = 2 q=2 .

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, каждое из которых (после первого) получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое отношением прогрессии (q).

В данном случае, первые два параметра геометрической прогрессии следующие:

• Первый член прогрессии \( b_1 = -3 \)
• Отношение прогрессии \( q = 2 \)

Чтобы найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, нам нужно воспользоваться формулой для суммы \( S_n \) \( n \) первых членов:

\[ S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
• \( b_1 \) — первый член,
• \( q \) — отношение прогрессии,
• \( n \) — количество членов, которые мы складываем.

Шаг 1: Определим количество членов \( n \)

В нашем случае: \[ n = 8 \]

Шаг 2: Подставим известные значения в формулу

Теперь подставим в формулу значения \( b_1 \), \( q \) и \( n \): \[ S_8 = -3 \frac{1 - 2^8}{1 - 2} \]

Шаг 3: Вычислим \( 2^8 \)

Сначала найдем \( 2^8 \): \[ 2^8 = 256 \]

Шаг 4: Подставим значение обратно в формулу

Теперь подставим это значение в формулу для суммы: \[ S_8 = -3 \frac{1 - 256}{1 - 2} \]

Шаг 5: Вычислим выражения в числителе и знаменателе

Посчитаем числитель и знаменатель:

• Числитель: \( 1 - 256 = -255 \)
• Знаменатель: \( 1 - 2 = -1 \)

Теперь подставим: \[ S_8 = -3 \frac{-255}{-1} \]

Шаг 6: Упростим выражение

Мы можем упростить это: \[ S_8 = -3 \times 255 = -765 \]

Ответ

Сумма первых восьми членов геометрической прогрессии равна \( -765 \).

Это значит, что если мы последовательно сложим первые восемь членов, то получим данное значение.