В секции по спортивной гимнастике занимаются 11 ребят с тренером. Для участия в соревнованиях нужно собрать команду из пяти человек. Сколькими способами можно это сделать?

Для того чтобы выбрать команду из 5 человек из 11, нужно использовать формулу сочетаний. Сочетания рассчитываются по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее количество элементов (в данном случае 11), а \( k \) — количество выбираемых элементов (в данном случае 5).

Подставим значения:

\[ C(11, 5) = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \]

Теперь можно упростить это выражение:

\[ C(11, 5) = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Теперь посчитаем числитель и знаменатель:

Числитель: \[ 11 \times 10 = 110 \] \[ 110 \times 9 = 990 \] \[ 990 \times 8 = 7920 \] \[ 7920 \times 7 = 55440 \]

Знаменатель: \[ 5 \times 4 = 20 \] \[ 20 \times 3 = 60 \] \[ 60 \times 2 = 120 \] \[ 120 \times 1 = 120 \]

Теперь делим числитель на знаменатель:

\[ C(11, 5) = \frac{55440}{120} = 462 \]

Таким образом, команду из пяти человек можно собрать 462 способами.