x+y=5 XY=-14
Чтобы решить систему уравнений:
- \( x + y = 5 \) (первое уравнение)
- \( xy = -14 \) (второе уравнение)
мы будем использовать метод подстановки или метод совместной подстановки. Давайте рассмотрим шаги подробно.
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Из первого уравнения \( x + y = 5 \) можем выразить \( y \):
\[ y = 5 - x \]
Шаг 2: Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение
Теперь подставим полученное значение \( y \) во второе уравнение \( xy = -14 \):
\[ x(5 - x) = -14 \]
Шаг 3: Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду
Раскроем скобки:
\[ 5x - x^2 = -14 \]
Переносим все члены на одну сторону уравнения:
\[ -x^2 + 5x + 14 = 0 \]
Чтобы упростить, умножим уравнение на \(-1\):
\[ x^2 - 5x - 14 = 0 \]
Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -14 \).
Сначала находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \]
Теперь подставляем в формулу:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 9}{2} \]
Шаг 5: Найдем значения для \( x \)
Теперь вычисляем два значения для \( x \):
- \( x_1 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
- \( x_2 = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
Шаг 6: Найдем соответствующие значения для \( y \)
Теперь подставим найденные значения \( x \) в уравнение \( y = 5 - x \).
Если \( x = 7 \): \[ y = 5 - 7 = -2 \]
Если \( x = -2 \): \[ y = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \]
Шаг 7: Запишем окончательный ответ
Таким образом, у нас есть две пары решений:
- \( (x, y) = (7, -2) \)
- \( (x, y) = (-2, 7) \)
Эти пары означают, что значения \( x \) и \( y \) могут быть либо \( (7, -2) \), либо \( (-2, 7) \).
