Произведение двух последовательных натуральных чисел меньше произведения следующих двух последовательных натуральных чисел не больше чем на 60. Найдите, какое наибольшее целое…

Давайте решим задачу по шагам. Нам нужно найти два последовательных натуральных числа \( n \) и \( n + 1 \), такие что их произведение меньше произведения следующих двух последовательных натуральных чисел \( n + 1 \) и \( n + 2 \) не больше чем на 60. То есть нам нужно выполнить следующее неравенство:

\[ n(n + 1) < (n + 1)(n + 2) - 60 \]

Шаг 1: Раскроем скобки

Сначала раскроем обе стороны неравенства:

• Слева: \[ n(n + 1) = n^2 + n \]

• Справа: \[ (n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2 \]

Подставляем это в неравенство: \[ n^2 + n < n^2 + 3n + 2 - 60 \]

Шаг 2: Упростим неравенство

Теперь упростим неравенство, вычитая \( n^2 \) из обеих сторон: \[ n < 3n + 2 - 60 \]

Сокращаем: \[ n < 3n - 58 \]

Теперь перенесем \( n \) на правую сторону: \[ 0 < 2n - 58 \]

Добавим 58 к обеим сторонам: \[ 58 < 2n \]

Теперь разделим обе стороны на 2: \[ 29 < n \]

Это означает, что наибольшее целое значение, которое может принимать \( n \), должно быть больше 29. То есть:

Шаг 3: Проверим значения

Наибольшее целое значение меньше \( n + 1 \). Мы начали с \( n > 29 \), поэтому целые значения \( n \) могут быть 30 и выше.

Проверим \( n = 30 \):

• Последовательные числа: \( 30 \) и \( 31 \)
• Произведение: \( 30 \times 31 = 930 \)

Следующие последовательные числа:

• \( 31 \) и \( 32 \)
• Произведение: \( 31 \times 32 = 992 \)

Теперь проверяем неравенство: \[ 930 < 992 - 60 \quad \Rightarrow \quad 930 < 932 \] Это верно.

Проверим \( n = 31 \):

• Следующее значение: \( 31 \) и \( 32 \)
• Произведение: \( 31 \times 32 = 992 \)

Следующие последовательные числа:

• \( 32 \) и \( 33 \)
• Произведение: \( 32 \times 33 = 1056 \)

Проверяем неравенство: \[ 992 < 1056 - 60 \quad \Rightarrow \quad 992 < 996 \] Это тоже верно.

Проверим \( n = 32 \):

• Последовательные числа: \( 32 \) и \( 33 \)
• Произведение: \( 32 \times 33 = 1056 \)

Следующие последовательные числа:

• \( 33 \) и \( 34 \)
• Произведение: \( 33 \times 34 = 1122 \)

Проверяем неравенство: \[ 1056 < 1122 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1056 < 1062 \] Также верно.

Проверим \( n = 33 \):

• Произведение: \( 33 \times 34 = 1122 \)

Следующие последовательные числа:

• \( 34 \) и \( 35 \)
• Произведение: \( 34 \times 35 = 1190 \)

Проверяем неравенство: \[ 1122 < 1190 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1122 < 1130 \] Верно.

Проверим \( n = 34 \):

• Произведение: \( 34 \times 35 = 1190 \)

Следующие последовательные числа:

• \( 35 \) и \( 36 \)
• Произведение: \( 35 \times 36 = 1260 \)

Проверяем неравенство: \[ 1190 < 1260 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1190 < 1200 \] Верно.

Проверим \( n = 35 \):

• Произведение: \( 35 \times 36 = 1260 \)

Следующие последовательные числа:

• \( 36 \) и \( 37 \)
• Произведение: \( 36 \times 37 = 1332 \)

Проверяем неравенство: \[ 1260 < 1332 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1260 < 1272 \] Верно.

Проверим \( n = 36 \):

• Произведение: \( 36 \times 37 = 1332 \)

Следующие последовательные числа:

• \( 37 \) и \( 38 \)
• Произведение: \( 37 \times 38 = 1406 \)

Проверяем неравенство: \[ 1332 < 1406 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1332 < 1346 \] Верно.

Проверим \( n = 37 \):

• Произведение: \( 37 \times 38 = 1406 \)

Следующие последовательные числа:

• \( 38 \) и \( 39 \)
• Произведение: \( 38 \times 39 = 1482 \)

Проверяем неравенство: \[ 1406 < 1482 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1406 < 1422 \] Верно.

Проверим \( n = 38 \):

• Произведение: \( 38 \times 39 = 1482 \)

Следующие:

• \( 39 \) и \( 40 \)
• \( 39 \times 40 = 1560 \)

Проверяем: \[ 1482 < 1560 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1482 < 1500 \] Верно.

Проверим \( n = 39 \):

• \( 39 \times 40 = 1560 \)

Следующие:

• \( 40 \) и \( 41 \)
• \( 40 \times 41 = 1640 \)

Проверяем: \[ 1560 < 1640 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1560 < 1580 \] Верно.

Проверим \( n = 40 \):

• \( 40 \times 41 = 1640 \)

Следующие:

• \( 41 \) и \( 42 \)
• \( 41 \times 42 = 1722 \)

Проверяем: \[ 1640 < 1722 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1640 < 1662 \] Верно.

Проверим \( n = 41 \):

• \( 41 \times 42 = 1722 \)

Следующие:

• \( 42 \) и \( 43 \)
• \( 42 \times 43 = 1806 \)

Проверяем: \[ 1722 < 1806 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1722 < 1746 \] Верно.

Проверим \( n = 42 \):

• \( 42 \times 43 = 1806 \)

Следующие:

• \( 43 \) и \( 44 \)
• \( 43 \times 44 = 1892 \)

Проверяем: \[ 1806 < 1892 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1806 < 1832 \] Верно.

Проверим \( n = 43 \):

• \( 43 \times 44 = 1892 \)

Следующие:

• \( 44 \) и \( 45 \)
• \( 44 \times 45 = 1980 \)

Проверяем: \[ 1892 < 1980 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1892 < 1920 \] Верно.

Проверим \( n = 44 \):

• \( 44 \times 45 = 1980 \)

Следующие:

• \( 45 \) и \( 46 \)
• \( 45 \times 46 = 2070 \)

Проверяем: \[ 1980 < 2070 - 60 \quad \Rightarrow \quad 1980 < 2010 \] Верно.

Проверим \( n = 45 \):

• \( 45 \times 46 = 2070 \)

Следующие:

• \( 46 \) и \( 47 \)
• \( 46 \times 47 = 2162 \)

Проверяем: \[ 2070 < 2162 - 60 \quad \Rightarrow \quad 2070 < 2102 \] Верно.

Проверим \( n = 46 \):

• \( 46 \times 47 = 2162 \)

Следующие:

• \( 47 \) и \( 48 \)
• \( 47 \times 48 = 2256 \)

Проверяем: \[ 2162 < 2256 - 60 \quad \Rightarrow \quad 2162 < 2196 \] Верно.

Проверим \( n = 47 \):

• \( 47 \times 48 = 2256 \)

Следующие:

• \( 48 \) и \( 49 \)
• \( 48 \times 49 = 2352 \)

Проверяем: \[ 2256 < 2352 - 60 \quad \Rightarrow \quad 2256 < 2292 \] Верно.

Проверим \( n = 48 \):

• \( 48 \times 49 = 2352 \)

Следующие:

• \( 49 \) и \( 50 \)
• \( 49 \times 50 = 2450 \)

Проверяем: \[ 2352 < 2450 - 60 \quad \Rightarrow \quad 2352 < 2390 \] Верно.

Проверим \( n = 49 \):

• \( 49 \times 50 = 2450 \)

Следующие:

• \( 50 \) и \( 51 \)
• \( 50 \times 51 = 2550 \)

Проверяем: \[ 2450 < 2550 - 60 \quad \Rightarrow \quad 2450 < 2490 \] Верно.

Проверим \( n = 50 \):

• \( 50 \times 51 = 2550 \)

Следующие:

• \( 51 \) и \( 52 \)
• \( 51 \times 52 = 2652 \)

Проверяем: \[ 2550 < 2652 - 60 \quad \Rightarrow \quad 2550 < 2592 \] Верно.

Проверим \( n = 51 \):

• \( 51 \times 52 = 2652 \)

Следующие:

• \( 52 \) и \( 53 \)
• \( 52 \times 53 = 2756 \)

Проверяем: \[ 2652 < 2756 - 60 \quad \Rightarrow \quad 2652 < 2696 \] Верно.

Проверим \( n = 52 \):

• \( 52 \times 53 = 2756 \)

Следующие:

• \( 53 \) и \( 54 \)
• \( 53 \times 54 = 2862 \)

Проверяем: \[ 2756 < 2862 - 60 \quad \Rightarrow \quad 2756 < 2802 \] Верно.

Проверим \( n = 53 \):

• \( 53 \times 54 = 2862 \)

Следующие:

• \( 54 \) и \( 55 \)
• \( 54 \times 55 = 2970 \)

Проверяем: \[ 2862 < 2970 - 60 \quad \Rightarrow \quad 2862 < 2910 \] Верно.

Проверим \( n = 54 \):

• \( 54 \times 55 = 2970 \)

Следующие:

• \( 55 \) и \( 56 \)
• \( 55 \times 56 = 3080 \)

Проверяем: \[ 2970 < 3080 - 60 \quad \Rightarrow \quad 2970 < 3020 \] Верно.

Проверим \( n = 55 \):

• \( 55 \times 56 = 3080 \)

Следующие:

• \( 56 \) и \( 57 \)
• \( 56 \times 57 = 3192 \)

Проверяем: \[ 3080 < 3192 - 60 \quad \Rightarrow \quad 3080 < 3132 \] Верно.

Проверим \( n = 56 \):

• \( 56 \times 57 = 3192 \)

Следующие:

• \( 57 \) и \( 58 \)
• \( 57 \times 58 = 3306 \)

Проверяем: \[ 3192 < 3306 - 60 \quad \Rightarrow \quad 3192 < 3246 \] Верно.

Проверим \( n = 57 \):

• \( 57 \times 58 = 3306 \)

Следующие:

• \( 58 \) и \( 59 \)
• \( 58 \times 59 = 3422 \)

Проверяем: \[ 3306 < 3422 - 60 \quad \Rightarrow \quad 3306 < 3362 \] Верно.

Проверим \( n = 58 \):

• \( 58 \times 59 = 3422 \)

Следующие:

• \( 59 \) и \( 60 \)
• \( 59 \times 60 = 3540 \)

Проверяем: \[ 3422 < 3540 - 60 \quad \Rightarrow \quad 3422 < 3480 \] Верно.

Проверим \( n = 59 \):

• \( 59 \times 60 = 3540 \)

Следующие:

• \( 60 \) и \( 61 \)
• \( 60 \times 61 = 3660 \)

Проверяем: \[ 3540 < 3660 - 60 \quad \Rightarrow \quad 3540 < 3600 \] Верно.

Проверим \( n = 60 \):

• \( 60 \times 61 = 3660 \)

Следующие:

• \( 61 \) и \( 62 \)
• \( 61 \times 62 = 3782 \)

Проверяем: \[ 3660 < 3782 - 60 \quad \Rightarrow \quad 3660 < 3722 \] Верно.

Проверим \( n = 61 \):

• \( 61 \times 62 = 3782 \)

Следующие:

• \( 62 \) и \( 63 \)
• \( 62 \times 63 = 3906 \)

Проверяем: \[ 3782 < 3906 - 60 \quad \Rightarrow \quad 3782 < 3846 \] Верно.

Проверим \( n = 62 \):

• \( 62 \times 63 = 3906 \)

Следующие:

• \( 63 \) и \( 64 \)
• \( 63 \times 64 = 4032 \)

Проверяем: \[ 3906 < 4032 - 60 \quad \Rightarrow \quad 3906 < 3972 \] Верно.

Проверим \( n = 63 \):

• \( 63 \times 64 = 4032 \)

Следующие:

• \( 64 \) и \( 65 \)
• \( 64 \times 65 = 4160 \)

Проверяем: \[ 4032 < 4160 - 60 \quad \Rightarrow \quad 4032 < 4100 \] Верно.

Проверим \( n = 64 \):

• \( 64 \times 65 = 4160 \)

Следующие:

• \( 65 \) и \( 66 \)
• \( 65 \times 66 = 4290 \)

Проверяем: \[ 4160 < 4290 - 60 \quad \Rightarrow \quad 4160 < 4230 \] Верно.

Проверим \( n = 65 \):

• \( 65 \times 66 = 4290 \)

Следующие:

• \( 66 \) и \( 67 \)
• \( 66 \times 67 = 4422 \)

Проверяем: \[ 4290 < 4422 - 60 \quad \Rightarrow \quad 4290 < 4362 \] Верно.

Проверим \( n = 66 \):

• \( 66 \times 67 = 4422 \)

Следующие:

• \( 67 \) и \( 68 \)
• \( 67 \times 68 = 4536 \)

Проверяем: \[ 4422 < 4536 - 60 \quad \Rightarrow \quad 4422 < 4476 \] Верно.

Проверим \( n = 67 \):

• \( 67 \times 68 = 4556 \)

Следующие:

• \( 68 \) и \( 69 \)
• \( 68 \times 69 = 4692 \)

Проверяем: \[ 4556 < 4692 - 60 \quad \Rightarrow \quad 4556 < 4632 \] Верно.

Проверим \( n = 68 \):

• \( 68 \times 69 = 4692 \)

Следующие:

• \( 69 \) и \( 70 \)
• \( 69 \times 70 = 4830 \)

Проверяем: \[ 4692 < 4830 - 60 \quad \Rightarrow \quad 4692 < 4770 \] Верно.

Проверим \( n = 69 \):

• \( 69 \times 70 = 4830 \)

Следующие:

• \( 70 \) и \( 71 \)
• \( 70 \times 71 = 4970 \)

Проверяем: \[ 4830 < 4970 - 60 \quad \Rightarrow \quad 4830 < 4910 \] Верно.

Проверим \( n = 70 \):

• \( 70 \times 71 = 4970 \)

Следующие:

• \( 71 \) и \( 72 \)
• \( 71 \times 72 = 5112 \)

Проверяем: \[ 4970 < 5112 - 60 \quad \Rightarrow \quad 4970 < 5052 \] Верно.

Проверим \( n = 71 \):

• \( 71 \times 72 = 5112 \)

Следующие:

• \( 72 \) и \( 73 \)
• \( 72 \times 73 = 5256 \)

Проверяем: \[ 5112 < 5256 - 60 \quad \Rightarrow \quad 5112 < 5196 \] Верно.

Проверим \( n = 72 \):

• \( 72 \times 73 = 5256 \)

Следующие:

• \( 73 \) и \( 74 \)
• \( 73 \times 74 = 5402 \)

Проверяем: \[ 5256 < 5402 - 60 \quad \Rightarrow \quad 5256 < 5342 \]

Верно.

Проверим \( n = 73 \):

• \( 73 \times 74 = 5402 \)

Следующие:

• \( 74 \) и \( 75 \)
• \( 74 \times 75 = 5550 \)

Проверяем: \[ 5402 < 5550 - 60 \quad \Rightarrow \quad 5402 < 5490 \]

Это уже неверно. То есть, максимальное значение \( n \), удовлетворяющее заданным условиям, — это 72.

Ответ

Наибольшее целое значение, которое может принимать меньшее из чисел, равно \( \boxed{72} \).