Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 1,5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Для решения задачи начнем с анализа данных.

1. Начальные данные:

   • Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD.
   • Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 1,5.

2. Определение размеров квадрата:

   • Обозначим сторону квадрата ABCD как \( a \).
   • Квадрат расположен в координатной плоскости:
     • Точка A имеет координаты \( A(0, a) \) (верхняя левая точка),
     • Точка B \( B(a, a) \) (верхняя правая),
     • Точка C \( C(a, 0) \) (нижняя правая),
     • Точка D \( D(0, 0) \) (нижняя левая).
   • Точка O, являясь серединой стороны CD, будет находиться на оси Y, с координатами \( O(\frac{a}{2}, 0) \).

3. Расстояние AO:

   • Теперь найдем расстояние от точки O до точки A, используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. \]
   • Подставляем координаты точек O и A: \[ AO = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + (a - 0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{4a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}. \]

4. Условие на радиус:

   • Из условия задачи, это расстояние равно радиусу окружности: \[ \frac{a\sqrt{5}}{2} = 1.5. \]

5. Решим уравнение для \( a \): \[ a\sqrt{5} = 3 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \quad (\text{умножили на } \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} для рационализации). \]

6. Нахождение площади квадрата:

   • Теперь найдем площадь квадрата \( S \): \[ S = a^2 = \left(\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{9 \cdot 5}{25} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5}. \]

Таким образом, площадь квадрата ABCD равна \( \frac{9}{5} \) квадратных единиц.