Угол при основании равнобедренного треугольника равен 820. Найдите угол при вершине этого треугольника.

Чтобы решить задачу, нам нужно рассмотреть свойства равнобедренного треугольника.

1. Определение равнобедренного треугольника:
   В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Обозначим угол при основании как \(A\) и угол при вершине как \(B\). Если угол при основании равен \(82^\circ\), то это значит:

   \[ A = 82^\circ \] Поскольку в равнобедренном треугольнике есть два равных угла при основании, мы можем записать:

   \[ A_1 = A_2 = 82^\circ \]

2. Сумма углов в треугольнике:
   Сумма всех углов в любом треугольнике равна \(180^\circ\). Для нашего равнобедренного треугольника это означает:

   \[ A_1 + A_2 + B = 180^\circ \]

   Подставим известные значения:

   \[ 82^\circ + 82^\circ + B = 180^\circ \]

3. Решение уравнения: Сложим углы при основании:

   \[ 164^\circ + B = 180^\circ \]

   Теперь нам нужно найти \(B\):

   \[ B = 180^\circ - 164^\circ \] \[ B = 16^\circ \]

4. Ответ:
   Итак, угол при вершине равнобедренного треугольника равен \(16^\circ\).

Таким образом, мы нашли, что угол при вершине равнобедренного треугольника составляет \(16^\circ\).