при некотором значении p квадратные уравнения x²+(p-1)x-(p+2)=0 и x²+(p+2)x+2p-1=0 имеют общий корень. тогда 6×p равно
Мы имеем два квадратных уравнения:
- \( x^2 + (p-1)x - (p+2) = 0 \)
- \( x^2 + (p+2)x + 2p - 1 = 0 \)
По условию задачи, эти уравнения имеют общий корень. Обозначим общий корень за \( \alpha \).
Шаг 1: Подставим общий корень в оба уравнения
Подставим \( \alpha \) в первое уравнение:
\[ \alpha^2 + (p-1)\alpha - (p+2) = 0 \quad \text{(1)} \]
Теперь подставим \( \alpha \) во второе уравнение:
\[ \alpha^2 + (p+2)\alpha + 2p - 1 = 0 \quad \text{(2)} \]
Шаг 2: Приведем уравнения к единой форме
Теперь у нас два уравнения (1) и (2), и мы можем выразить \( \alpha^2 \) из каждого из них.
Из уравнения (1):
\[ \alpha^2 = -(p-1)\alpha + (p+2) \quad \text{(1')} \]
Из уравнения (2):
\[ \alpha^2 = -(p+2)\alpha - (2p - 1) \quad \text{(2')} \]
Шаг 3: Приравняем два выражения для \( \alpha^2 \)
Теперь приравняем (1') и (2'):
\[ -(p-1)\alpha + (p+2) = -(p+2)\alpha - (2p - 1) \]
Шаг 4: Упрощаем уравнение
Раскроем скобки и соберём все члены с \( \alpha \):
\[ -(p-1)\alpha + (p+2) = -p\alpha - 2\alpha - 2p + 1 \]
Переносим все \( \alpha \) в одну сторону:
\[ -(p-1)\alpha + p\alpha + 2\alpha = -2p + 1 - (p+2) \]
Сначала упростим правую часть:
\[ -2p + 1 - p - 2 = -3p - 1 \]
Теперь упрощаем левую часть:
\[ (-p + 1 + 2)\alpha = 3\alpha \]
Итак, у нас получается:
\[ (3 - p)\alpha = -3p - 1 \]
Шаг 5: Рассмотрим случай, когда \( \alpha \neq 0 \)
При условии, что \( 3 - p \neq 0 \):
\[ \alpha = \frac{-3p - 1}{3 - p} \]
Шаг 6: Найдем \( p \)
Чтобы квадратные уравнения действительно имели общий корень, дискриминант должен быть равен нулю. Делаем это для любого из уравнений.
Посчитаем дискриминант первого уравнения:
\[ D_1 = (p - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -(p + 2) = (p - 1)^2 + 4(p + 2) \]
Упростим его:
\[ D_1 = p^2 - 2p + 1 + 4p + 8 = p^2 + 2p + 9 \]
Аналогично находим дискриминант второго уравнения:
\[ D_2 = (p + 2)^2 - 4(2p - 1) = p^2 + 4p + 4 - 8p + 4 = p^2 - 4p + 8 \]
Теперь приравниваем дискриминанты:
\[ p^2 + 2p + 9 = p^2 - 4p + 8 \]
Упрощаем:
\[ 2p + 9 + 4p - 8 = 0 \implies 6p + 1 = 0 \implies p = -\frac{1}{6} \]
Шаг 7: Найдем 6 × p
Теперь вычислим:
\[ 6p = 6 \times -\frac{1}{6} = -1 \]
Таким образом, ответ:
\[ \boxed{-1} \]
