При некотором значении p квадратные уравнения x²+(p-1)x-(p+2)=0 и x²+(p+2)x+2p-1=0 имеют общий корень. тогда 6×p равно

Мы имеем два квадратных уравнения: 1. \( x^2 + (p-1)x - (p+2) = 0 \) 2. \( x^2 + (p+2)x + 2p - 1 = 0 \) По условию задачи, эти уравнения имеют общий корень. Обозначим общий корень за \( \alpha \). ### Шаг 1: Подставим общий корень в оба уравнения Подставим \( \alpha \) в первое уравнение: \[ \alpha^2 + (p-1)\alpha - (p+2) = 0 \quad \text{(1)} \] Теперь подставим \( \alpha \) во второе уравнение: \[ \alpha^2 + (p+2)\alpha + 2p - 1 = 0 \quad \text{(2)} \] ### Шаг 2: Приведем уравнения к единой форме Теперь у нас два уравнения (1) и (2), и мы можем выразить \( \alpha^2 \) из каждого из них. Из уравнения (1): \[ \alpha^2 = -(p-1)\alpha + (p+2) \quad \text{(1')} \] Из уравнения (2): \[ \alpha^2 = -(p+2)\alpha - (2p - 1) \quad \text{(2')} \] ### Шаг 3: Приравняем два выражения для \( \alpha^2 \) Теперь приравняем (1') и (2'): \[ -(p-1)\alpha + (p+2) = -(p+2)\alpha - (2p - 1) \] ### Шаг 4: Упрощаем уравнение Раскроем скобки и соберём все члены с \( \alpha \): \[ -(p-1)\alpha + (p+2) = -p\alpha - 2\alpha - 2p + 1 \] Переносим все \( \alpha \) в одну сторону: \[ -(p-1)\alpha + p\alpha + 2\alpha = -2p + 1 - (p+2) \] Сначала упростим правую часть: \[ -2p + 1 - p - 2 = -3p - 1 \] Теперь упрощаем левую часть: \[ (-p + 1 + 2)\alpha = 3\alpha \] Итак, у нас получается: \[ (3 - p)\alpha = -3p - 1 \] ### Шаг 5: Рассмотрим случай, когда \( \alpha \neq 0 \) При условии, что \( 3 - p \neq 0 \): \[ \alpha = \frac{-3p - 1}{3 - p} \] ### Шаг 6: Найдем \( p \) Чтобы квадратные уравнения действительно имели общий корень, дискриминант должен быть равен нулю. Делаем это для любого из уравнений. Посчитаем дискриминант первого уравнения: \[ D_1 = (p - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -(p + 2) = (p - 1)^2 + 4(p + 2) \] Упростим его: \[ D_1 = p^2 - 2p + 1 + 4p + 8 = p^2 + 2p + 9 \] Аналогично находим дискриминант второго уравнения: \[ D_2 = (p + 2)^2 - 4(2p - 1) = p^2 + 4p + 4 - 8p + 4 = p^2 - 4p + 8 \] Теперь приравниваем дискриминанты: \[ p^2 + 2p + 9 = p^2 - 4p + 8 \] Упрощаем: \[ 2p + 9 + 4p - 8 = 0 \implies 6p + 1 = 0 \implies p = -\frac{1}{6} \] ### Шаг 7: Найдем 6 × p Теперь вычислим: \[ 6p = 6 \times -\frac{1}{6} = -1 \] Таким образом, ответ: \[ \boxed{-1} \]