Log2(7+6x) =Log2(7-6x) +2

Чтобы решить уравнение \( \log_2(7 + 6x) = \log_2(7 - 6x) + 2 \), начнем с обработки логарифмов. Используем свойства логарифмов и экспоненцию.

Шаг 1: Применим свойства логарифмов

У нас есть: \[ \log_2(7 + 6x) = \log_2(7 - 6x) + 2 \]

Мы можем преобразовать правую часть уравнения. Помним, что \( \log_b(a) + c = \log_b(a \cdot b^c) \). Применим это свойство: \[ \log_2(7 - 6x) + 2 = \log_2(7 - 6x) + \log_2(4) = \log_2( (7 - 6x) \cdot 4 ) \]

Итак, у нас получается: \[ \log_2(7 + 6x) = \log_2(4(7 - 6x)) \]

Шаг 2: Уберем логарифмы

Теперь, так как логарифмы равны, мы можем приравнять их аргументы: \[ 7 + 6x = 4(7 - 6x) \]

Шаг 3: Раскроем скобки

Раскроем скобки на правой части: \[ 7 + 6x = 28 - 24x \]

Шаг 4: Переместим все x на одну сторону

Соберем все \( x \) в одной части и константы в другой: \[ 6x + 24x = 28 - 7 \] \[ 30x = 21 \]

Шаг 5: Найдем x

Теперь разделим обе стороны на 30: \[ x = \frac{21}{30} = \frac{7}{10} \]

Ответ

Таким образом, мы получили: \[ x = \frac{7}{10} \]

Проверка условия

Теперь давайте проверим, подходит ли найденное значение \( x \):

• Подставим \( x = \frac{7}{10} \) в выражения \( 7 + 6x \) и \( 7 - 6x \):
  • \( 7 + 6\left(\frac{7}{10}\right) = 7 + \frac{42}{10} = 7 + 4.2 = 11.2 \)
  • \( 7 - 6\left(\frac{7}{10}\right) = 7 - \frac{42}{10} = 7 - 4.2 = 2.8 \)

Теперь проверим логарифмическое равенство:

• Левые логарифмы: \[ \log_2(11.2) \quad \text{и} \quad \log_2(2.8) + 2 \]

И действительно, \[ \log_2(2.8) + 2 = \log_2(2.8 \cdot 4) = \log_2(11.2) \]

Таким образом, проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: \( x = \frac{7}{10} \)