Log2(7+6x) =Log2(7-6x) +2

Чтобы решить уравнение \( \log_2(7 + 6x) = \log_2(7 - 6x) + 2 \), начнем с обработки логарифмов. Используем свойства логарифмов и экспоненцию. ### Шаг 1: Применим свойства логарифмов У нас есть: \[ \log_2(7 + 6x) = \log_2(7 - 6x) + 2 \] Мы можем преобразовать правую часть уравнения. Помним, что \( \log_b(a) + c = \log_b(a \cdot b^c) \). Применим это свойство: \[ \log_2(7 - 6x) + 2 = \log_2(7 - 6x) + \log_2(4) = \log_2( (7 - 6x) \cdot 4 ) \] Итак, у нас получается: \[ \log_2(7 + 6x) = \log_2(4(7 - 6x)) \] ### Шаг 2: Уберем логарифмы Теперь, так как логарифмы равны, мы можем приравнять их аргументы: \[ 7 + 6x = 4(7 - 6x) \] ### Шаг 3: Раскроем скобки Раскроем скобки на правой части: \[ 7 + 6x = 28 - 24x \] ### Шаг 4: Переместим все x на одну сторону Соберем все \( x \) в одной части и константы в другой: \[ 6x + 24x = 28 - 7 \] \[ 30x = 21 \] ### Шаг 5: Найдем x Теперь разделим обе стороны на 30: \[ x = \frac{21}{30} = \frac{7}{10} \] ### Ответ Таким образом, мы получили: \[ x = \frac{7}{10} \] ### Проверка условия Теперь давайте проверим, подходит ли найденное значение \( x \): - Подставим \( x = \frac{7}{10} \) в выражения \( 7 + 6x \) и \( 7 - 6x \): - \( 7 + 6\left(\frac{7}{10}\right) = 7 + \frac{42}{10} = 7 + 4.2 = 11.2 \) - \( 7 - 6\left(\frac{7}{10}\right) = 7 - \frac{42}{10} = 7 - 4.2 = 2.8 \) Теперь проверим логарифмическое равенство: - Левые логарифмы: \[ \log_2(11.2) \quad \text{и} \quad \log_2(2.8) + 2 \] И действительно, \[ \log_2(2.8) + 2 = \log_2(2.8 \cdot 4) = \log_2(11.2) \] Таким образом, проверка подтверждает правильность решения. **Ответ:** \( x = \frac{7}{10} \)