Давайте найдем производную функции ( y = \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2} ) с использованием правила деления для производных.
Шаг 1: Определение функции
Мы имеем функцию в виде дроби:
[
y = \frac{u}{v}
]
где ( u = x^2 + 2 ) и ( v = x^2 - 2 ).
Шаг 2: Применение правила деления
Производная функции в виде дроби (правило деления) задается формулой:
[
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
]
где:
- ( u' ) — производная числителя,
- ( v' ) — производная знаменателя.
Шаг 3: Вычисление производных ( u' ) и ( v' )
Найдем производную ( u ):
[
u = x^2 + 2 \implies u' = 2x
]
Найдем производную ( v ):
[
v = x^2 - 2 \implies v' = 2x
]
Шаг 4: Подстановка в формулу
Теперь можем подставить полученные производные в формулу:
[
y' = \frac{(2x)(x^2 - 2) - (x^2 + 2)(2x)}{(x^2 - 2)^2}
]
Шаг 5: Упрощение числителя
Раскроем скобки в числителе:
[
y' = \frac{2x(x^2 - 2) - 2x(x^2 + 2)}{(x^2 - 2)^2}
]
Упростим:
- Первый член: ( 2x(x^2 - 2) = 2x^3 - 4x )
- Второй член: ( 2x(x^2 + 2) = 2x^3 + 4x )
Теперь подставим это в нашу формулу:
[
y' = \frac{(2x^3 - 4x) - (2x^3 + 4x)}{(x^2 - 2)^2}
]
Упрощаем полученное выражение:
[
y' = \frac{2x^3 - 4x - 2x^3 - 4x}{(x^2 - 2)^2}
]
[
y' = \frac{-8x}{(x^2 - 2)^2}
]
Ответ
Итак, производная функции ( y ) равна:
[
y' = \frac{-8x}{(x^2 - 2)^2}
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите разобрать другие примеры, не стесняйтесь спрашивать!
