найдите производную функцию у=x2+2/x2-2

Давайте найдем производную функции \( y = \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2} \) с использованием правила деления для производных.

Шаг 1: Определение функции

Мы имеем функцию в виде дроби:

\[ y = \frac{u}{v} \]

где \( u = x^2 + 2 \) и \( v = x^2 - 2 \).

Шаг 2: Применение правила деления

Производная функции в виде дроби (правило деления) задается формулой:

\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

где:

• \( u' \) — производная числителя,
• \( v' \) — производная знаменателя.

Шаг 3: Вычисление производных \( u' \) и \( v' \)

1. Найдем производную \( u \): \[ u = x^2 + 2 \implies u' = 2x \]

2. Найдем производную \( v \): \[ v = x^2 - 2 \implies v' = 2x \]

Шаг 4: Подстановка в формулу

Теперь можем подставить полученные производные в формулу:

\[ y' = \frac{(2x)(x^2 - 2) - (x^2 + 2)(2x)}{(x^2 - 2)^2} \]

Шаг 5: Упрощение числителя

Раскроем скобки в числителе:

\[ y' = \frac{2x(x^2 - 2) - 2x(x^2 + 2)}{(x^2 - 2)^2} \]

Упростим:

1. Первый член: \( 2x(x^2 - 2) = 2x^3 - 4x \)
2. Второй член: \( 2x(x^2 + 2) = 2x^3 + 4x \)

Теперь подставим это в нашу формулу:

\[ y' = \frac{(2x^3 - 4x) - (2x^3 + 4x)}{(x^2 - 2)^2} \]

Упрощаем полученное выражение:

\[ y' = \frac{2x^3 - 4x - 2x^3 - 4x}{(x^2 - 2)^2} \] \[ y' = \frac{-8x}{(x^2 - 2)^2} \]

Ответ

Итак, производная функции \( y \) равна:

\[ y' = \frac{-8x}{(x^2 - 2)^2} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите разобрать другие примеры, не стесняйтесь спрашивать!