y''-2y'-3y=0
Для решения дифференциального уравнения \( y'' - 2y' - 3y = 0 \) начнем с определения его типа и поиска общего решения.
Шаг 1: Определение характеристического уравнения
Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, и его решение можно найти с помощью характеристического уравнения. Чтобы получить характеристическое уравнение, заменим:
- \( y'' \) на \( r^2 \),
- \( y' \) на \( r \),
- \( y \) на \( 1 \).
Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид:
\[ r^2 - 2r - 3 = 0 \]
Шаг 2: Решение характеристического уравнения
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1, b = -2, c = -3 \).
Подставим значения:
\[ r = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \]
\[ = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \]
\[ = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \]
\[ = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Теперь найдем два корня:
- \( r_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( r_2 = \frac{-2}{2} = -1 \)
Шаг 3: Запись общего решения
Поскольку у нас два различных корня, общее решение дифференциального уравнения будет:
\[ y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \]
Подставим найденные корни:
\[ y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} \]
где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные константы, которые можно определить, если будут заданы начальные условия.
Шаг 4: Итог
Таким образом, общее решение уравнения \( y'' - 2y' - 3y = 0 \) имеет вид:
\[ y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} \]
Это решение описывает поведение функции \( y(t) \) в зависимости от времени \( t \), и произвольные константы могут быть определены на основании конкретных условий задачи.
Если у вас есть дополнительные вопросы по этому решению или необходимо прояснить какой-либо шаг, пожалуйста, дайте знать!
