Y''-2y'-3y=0

Для решения дифференциального уравнения \( y'' - 2y' - 3y = 0 \) начнем с определения его типа и поиска общего решения. ### Шаг 1: Определение характеристического уравнения Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, и его решение можно найти с помощью характеристического уравнения. Чтобы получить характеристическое уравнение, заменим: - \( y'' \) на \( r^2 \), - \( y' \) на \( r \), - \( y \) на \( 1 \). Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид: \[ r^2 - 2r - 3 = 0 \] ### Шаг 2: Решение характеристического уравнения Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -2, c = -3 \). Подставим значения: \[ r = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ = \frac{2 \pm 4}{2} \] Теперь найдем два корня: 1. \( r_1 = \frac{6}{2} = 3 \) 2. \( r_2 = \frac{-2}{2} = -1 \) ### Шаг 3: Запись общего решения Поскольку у нас два различных корня, общее решение дифференциального уравнения будет: \[ y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \] Подставим найденные корни: \[ y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} \] где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные константы, которые можно определить, если будут заданы начальные условия. ### Шаг 4: Итог Таким образом, общее решение уравнения \( y'' - 2y' - 3y = 0 \) имеет вид: \[ y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} \] Это решение описывает поведение функции \( y(t) \) в зависимости от времени \( t \), и произвольные константы могут быть определены на основании конкретных условий задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы по этому решению или необходимо прояснить какой-либо шаг, пожалуйста, дайте знать!