Давайте разберем предложенное задание, связанное с системами уравнений. Мы выполним каждую задачу по порядку и поймем, как решать системы уравнений различными методами.
1. Графический способ решения системы:
Система уравнений:
- ( 2x - y = 4 )
- ( x + y = 5 )
Шаг 1: Преобразуем уравнения к форме y = f(x)
Из первого уравнения выразим y:
[
y = 2x - 4
]
Из второго уравнения выразим y:
[
y = 5 - x
]
Шаг 2: Построим графики уравнений
Теперь мы можем построить графики обеих функций:
Для ( y = 2x - 4 ):
- При ( x = 0 ), ( y = -4 ) (точка (0, -4))
- При ( x = 2 ), ( y = 0 ) (точка (2, 0))
- При ( x = 4 ), ( y = 4 ) (точка (4, 4))
Соединив эти точки, мы получаем прямую.
Для ( y = 5 - x ):
- При ( x = 0 ), ( y = 5 ) (точка (0, 5))
- При ( x = 5 ), ( y = 0 ) (точка (5, 0))
Соединив эти точки, мы получаем другую прямую.
Шаг 3: Найдем точку пересечения
Теперь на графиках мы можем найти точку пересечения двух линий, которая будет решением системы уравнений.
Решая их, мы получаем:
- ( 2x - 4 = 5 - x )
- ( 2x + x = 5 + 4 )
- ( 3x = 9 ) ⇒ ( x = 3 )
Теперь подставим ( x = 3 ) в одно из уравнений:
[
y = 5 - 3 = 2
]
Ответ: Решение системы: ( (3, 2) ).
2. Способ подстановки для решения системы:
Система уравнений:
- ( 2x + y = 17 )
- ( y = 4x + 3 ) (предполагаем, что это второе уравнение)
Шаг 1: Подставим значение y из второго уравнения в первое:
[
2x + (4x + 3) = 17
]
[
2x + 4x + 3 = 17
]
[
6x + 3 = 17
]
Шаг 2: Решим уравнение для x:
[
6x = 17 - 3
]
[
6x = 14
]
[
x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}
]
Шаг 3: Найдем y:
Теперь вставим значение ( x ) обратно во второе уравнение:
[
y = 4 \cdot \frac{7}{3} + 3 = \frac{28}{3} + 3 = \frac{28}{3} + \frac{9}{3} = \frac{37}{3}
]
Ответ: Решение системы: ( \left( \frac{7}{3}, \frac{37}{3} \right) ).
3. Способ сложения (метод исключения):
Система уравнений:
- ( 4x - 3y = 7 )
- ( 5x + 3y = 2 )
Шаг 1: Складываем уравнения, чтобы исключить y:
Сложим оба уравнения:
[
(4x - 3y) + (5x + 3y) = 7 + 2
]
[
4x + 5x = 9
]
[
9x = 9 \implies x = 1
]
Шаг 2: Найдем значение y, подставив x в одно из уравнений:
[
4(1) - 3y = 7 \implies 4 - 3y = 7
]
[
-3y = 7 - 4
]
[
-3y = 3 \implies y = -1
]
Ответ: Решение системы: ( (1, -1) ).
4. Задача на нахождение сторон прямоугольника:
Дано:
- Периметр ( P = 28 ) см
- Сумма площадей квадратов на сторонах ( S = 116 ) см²
Обозначим стороны прямоугольника как ( x ) и ( y ).
Шаг 1: Запишем уравнения
Из периметра составим уравнение:
[
2(x + y) = 28 \implies x + y = 14
]
Сумма площадей квадратов:
[
x^2 + y^2 = 116
]
Шаг 2: Из первого уравнения выразим y:
[
y = 14 - x
]
Шаг 3: Подставим во второе уравнение:
[
x^2 + (14 - x)^2 = 116
]
[
x^2 + (196 - 28x + x^2) = 116
]
[
2x^2 - 28x + 196 - 116 = 0
]
[
2x^2 - 28x + 80 = 0
]
Шаг 4: Упростим уравнение:
[
x^2 - 14x + 40 = 0
]
Шаг 5: Найдем дискриминант:
[
D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36
]
Шаг 6: Найдем корни уравнения:
[
x = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{2}
]
[
x = \frac{14 \pm 6}{2}
]
- ( x_1 = \frac{20}{2} = 10 )
- ( x_2 = \frac{8}{2} = 4 )
Подставим эти значения в ( y = 14 - x ):
- Если ( x = 10 ), то ( y = 4 )
- Если ( x = 4 ), то ( y = 10 )
Ответ: Стороны прямоугольника: ( 10 ) см и ( 4 ) см.
Теперь у вас есть разбор всех задач с каким образом их решать. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить какой-то другой аспект, пожалуйста, дайте знать!
