Самостоятельная работа по тема «Системы уравнений» алгебра 8 класс Варнант 1 2x - y = 4, x + y = 5. 1. Выберите одну из предложенных систем. И решите ее графическим способом 2x -…

Давайте разберем предложенное задание, связанное с системами уравнений. Мы выполним каждую задачу по порядку и поймем, как решать системы уравнений различными методами.

1. Графический способ решения системы:

Система уравнений:

1. \( 2x - y = 4 \)
2. \( x + y = 5 \)

Шаг 1: Преобразуем уравнения к форме y = f(x)

1. Из первого уравнения выразим y: \[ y = 2x - 4 \]

2. Из второго уравнения выразим y: \[ y = 5 - x \]

Шаг 2: Построим графики уравнений

Теперь мы можем построить графики обеих функций:

• Для \( y = 2x - 4 \):

  • При \( x = 0 \), \( y = -4 \) (точка (0, -4))
  • При \( x = 2 \), \( y = 0 \) (точка (2, 0))
  • При \( x = 4 \), \( y = 4 \) (точка (4, 4))

  Соединив эти точки, мы получаем прямую.

• Для \( y = 5 - x \):

  • При \( x = 0 \), \( y = 5 \) (точка (0, 5))
  • При \( x = 5 \), \( y = 0 \) (точка (5, 0))

  Соединив эти точки, мы получаем другую прямую.

Шаг 3: Найдем точку пересечения

Теперь на графиках мы можем найти точку пересечения двух линий, которая будет решением системы уравнений.

Решая их, мы получаем:

• \( 2x - 4 = 5 - x \)
• \( 2x + x = 5 + 4 \)
• \( 3x = 9 \) ⇒ \( x = 3 \)

Теперь подставим \( x = 3 \) в одно из уравнений: \[ y = 5 - 3 = 2 \]

Ответ: Решение системы: \( (3, 2) \).

---

2. Способ подстановки для решения системы:

Система уравнений:

1. \( 2x + y = 17 \)
2. \( y = 4x + 3 \) (предполагаем, что это второе уравнение)

Шаг 1: Подставим значение y из второго уравнения в первое:

\[ 2x + (4x + 3) = 17 \] \[ 2x + 4x + 3 = 17 \] \[ 6x + 3 = 17 \]

Шаг 2: Решим уравнение для x:

\[ 6x = 17 - 3 \] \[ 6x = 14 \] \[ x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \]

Шаг 3: Найдем y:

Теперь вставим значение \( x \) обратно во второе уравнение: \[ y = 4 \cdot \frac{7}{3} + 3 = \frac{28}{3} + 3 = \frac{28}{3} + \frac{9}{3} = \frac{37}{3} \]

Ответ: Решение системы: \( \left( \frac{7}{3}, \frac{37}{3} \right) \).

---

3. Способ сложения (метод исключения):

Система уравнений:

1. \( 4x - 3y = 7 \)
2. \( 5x + 3y = 2 \)

Шаг 1: Складываем уравнения, чтобы исключить y:

Сложим оба уравнения: \[ (4x - 3y) + (5x + 3y) = 7 + 2 \] \[ 4x + 5x = 9 \] \[ 9x = 9 \implies x = 1 \]

Шаг 2: Найдем значение y, подставив x в одно из уравнений:

\[ 4(1) - 3y = 7 \implies 4 - 3y = 7 \] \[ -3y = 7 - 4 \] \[ -3y = 3 \implies y = -1 \]

Ответ: Решение системы: \( (1, -1) \).

---

4. Задача на нахождение сторон прямоугольника:

Дано:

• Периметр \( P = 28 \) см
• Сумма площадей квадратов на сторонах \( S = 116 \) см²

Обозначим стороны прямоугольника как \( x \) и \( y \).

Шаг 1: Запишем уравнения

Из периметра составим уравнение: \[ 2(x + y) = 28 \implies x + y = 14 \]

Сумма площадей квадратов: \[ x^2 + y^2 = 116 \]

Шаг 2: Из первого уравнения выразим y:

\[ y = 14 - x \]

Шаг 3: Подставим во второе уравнение:

\[ x^2 + (14 - x)^2 = 116 \] \[ x^2 + (196 - 28x + x^2) = 116 \] \[ 2x^2 - 28x + 196 - 116 = 0 \] \[ 2x^2 - 28x + 80 = 0 \]

Шаг 4: Упростим уравнение:

\[ x^2 - 14x + 40 = 0 \]

Шаг 5: Найдем дискриминант:

\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36 \]

Шаг 6: Найдем корни уравнения:

\[ x = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{14 \pm 6}{2} \]

• \( x_1 = \frac{20}{2} = 10 \)
• \( x_2 = \frac{8}{2} = 4 \)

Подставим эти значения в \( y = 14 - x \):

• Если \( x = 10 \), то \( y = 4 \)
• Если \( x = 4 \), то \( y = 10 \)

Ответ: Стороны прямоугольника: \( 10 \) см и \( 4 \) см.

---

Теперь у вас есть разбор всех задач с каким образом их решать. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить какой-то другой аспект, пожалуйста, дайте знать!