f(2e^x-3sinx+5cos-7^x+1)dx=

Чтобы решить задачу, нам нужно интегрировать функцию \( f(x) = 2e^x - 3\sin x + 5\cos x - 7^x + 1 \). Мы будем выполнять интеграцию каждой части функции по отдельности.

Шаг 1: Интегрирование каждого слагаемого

1. Интеграл от \( 2e^x \): \[ \int 2e^x \, dx = 2e^x + C_1 \] Здесь \( C_1 \) — произвольная константа интегрирования.

2. Интеграл от \( -3\sin x \): \[ \int -3\sin x \, dx = 3\cos x + C_2 \] (помним, что \(\int \sin x \, dx = -\cos x\), поэтому мы записали \( -3 \cdot (-\cos x) = 3 \cos x\)).

3. Интеграл от \( 5\cos x \): \[ \int 5\cos x \, dx = 5\sin x + C_3 \] (так как \(\int \cos x \, dx = \sin x\)).

4. Интеграл от \( -7^x \): Чтобы интегрировать \( -7^x \), воспользуемся свойством экспоненциальной функции: \[ \int -7^x \, dx = -\frac{7^x}{\ln(7)} + C_4 \] Это закон интегрирования экспоненциальной функции, где \(\ln(7)\) — это натуральный логарифм основания.

5. Интеграл от \( 1 \) (константа): \[ \int 1 \, dx = x + C_5 \]

Шаг 2: Объединение результатов

Теперь объединяем все полученные результаты: \[ \int f(x) \, dx = \left( 2e^x + 3\cos x + 5\sin x - \frac{7^x}{\ln(7)} + x \right) + C \] где \( C \) — это общая константа интегрирования, которая объединяет все константы \( C_1, C_2, C_3, C_4, C_5 \).

Ответ

Итак, результат интегрирования функции будет: \[ \int (2e^x - 3\sin x + 5\cos x - 7^x + 1) \, dx = 2e^x + 3\cos x + 5\sin x - \frac{7^x}{\ln(7)} + x + C \]

Если чего-то не хватает или есть дополнительные вопросы, пишите!