Самостоятельная работа по тема «Системы уравнений» алгебра 8 класс Варнант 1 2x - у = 4, + y = 5. 1. Выберите одну из предложенных систем. И решите ее графическим способом 2.…

Решение задач по системе уравнений

Задача 1: Решение графическим способом

Выбранная система:
\( \begin{cases} 2x - y = 4 \\ y = 5 \end{cases} \)

Шаг 1: Приведение уравнений к прямому виду.
Первое уравнение можно записать в виде \( y = 2x - 4 \). Второе уравнение уже задано как \( y = 5 \).

Шаг 2: Построение графиков.

1. Для уравнения \( y = 2x - 4 \) график представляет собой прямую. Чтобы нарисовать её, можно найти несколько точек.

   • Если \( x = 0 \): \( y = 2(0) - 4 = -4 \) → точка (0, -4)
   • Если \( x = 2 \): \( y = 2(2) - 4 = 0 \) → точка (2, 0)
   • Если \( x = 3 \): \( y = 2(3) - 4 = 2 \) → точка (3, 2)

2. Для уравнения \( y = 5 \) - это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 5).

Шаг 3: Пересечение графиков.
На графике видно, что прямая \( y = 5 \) пересекает прямую \( y = 2x - 4 \) в одной точке. Чтобы найти координаты точки пересечения, подставим \( y = 5 \) в \( y = 2x - 4 \):

\[ 5 = 2x - 4 \]
\[ 2x = 5 + 4 \]
\[ 2x = 9 \]
\[ x = 4.5 \]

Координаты точки пересечения:
\( (4.5, 5) \)

Задача 2: Решение способом подстановки

Выбранная система:
\( \begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + y = 17 \end{cases} \)

Шаг 1: Изобразим y через x из второго уравнения.
Из уравнения \( x + y = 17 \) выразим \( y \):

\[ y = 17 - x \]

Шаг 2: Подставим \( y \) в первое уравнение.
Теперь заменим \( y \) в \( 2x - y = 4 \):

\[ 2x - (17 - x) = 4 \]
\[ 2x - 17 + x = 4 \]
\[ 3x - 17 = 4 \]
\[ 3x = 4 + 17 \]
\[ 3x = 21 \]
\[ x = 7 \]

Шаг 3: Найдем \( y \).
Теперь подставим \( x = 7 \) обратно в \( y = 17 - x \):

\[ y = 17 - 7 = 10 \]

Решение:
\( (7, 10) \)

Задача 3: Решение способом сложения

Выбранная система:
\( \begin{cases} 4x - 3y = 7 \\ x + 3y = 2 \end{cases} \)

Шаг 1: Изменение второго уравнения для сложения.
Умножим второе уравнение на 4, чтобы удобнее было складывать:

\[ 4(x + 3y) = 4 \cdot 2\]
\[ 4x + 12y = 8 \]

Теперь система имеет вид:

\( \begin{cases} 4x - 3y = 7 \\ 4x + 12y = 8 \end{cases} \)

Шаг 2: Выразим новую систему.
Выровняем по \( 4x \):

1. \( 4x - 3y = 7 \)
2. \( 4x + 12y = 8 \)

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

\[ (4x + 12y) - (4x - 3y) = 8 - 7 \]
\[ 15y = 1 \]
\[ y = \frac{1}{15} \]

Шаг 3: Найдем \( x \).
Подставим \( y \) обратно в любое уравнение, возьмем, например, \( x + 3y = 2 \):

\[ x + 3 \cdot \frac{1}{15} = 2 \]
\[ x + \frac{3}{15} = 2 \]
\[ x + \frac{1}{5} = 2 \]
\[ x = 2 - \frac{1}{5} \]
\[ x = \frac{10}{5} - \frac{1}{5} = \frac{9}{5} \]

Решение:
\( \left( \frac{9}{5}, \frac{1}{15} \right) \)

Задача 4: Найдите стороны прямоугольника

Дано: Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах, равна 116 см².

Пусть стороны прямоугольника равно \( a \) и \( b \).

Шаг 1: Составим уравнения.
Периметр:

\[ 2(a + b) = 28 \]
\[ a + b = 14 \quad ...(1)\]

Сумма площадей:

\[ a^2 + b^2 = 116 \quad ...(2)\]

Шаг 2: Выразим \( b \) через \( a \) из (1):

\[ b = 14 - a \]

Шаг 3: Подставим \( b \) в (2):

\[ a^2 + (14 - a)^2 = 116 \]
\[ a^2 + (196 - 28a + a^2) = 116 \]
\[ 2a^2 - 28a + 196 - 116 = 0 \]
\[ 2a^2 - 28a + 80 = 0 \]
\[ a^2 - 14a + 40 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Используем дискриминант:

\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36 \]

Корни уравнения:

\[ a = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{14 \pm 6}{2} \]

Находим корни:

\[ a_1 = \frac{20}{2} = 10, \quad a_2 = \frac{8}{2} = 4 \]

Шаг 5: Находим \( b \):

Если \( a = 10 \), то \( b = 14 - 10 = 4 \).
Если \( a = 4 \), то \( b = 14 - 4 = 10 \).

Ответ:
Стороны прямоугольника: \( 10 \, \text{см} \) и \( 4 \, \text{см} \).

Это полное решение данной задачи. Если есть другие вопросы - обращайтесь!