Решение задач по системе уравнений
Задача 1: Решение графическим способом
Выбранная система:
( \begin{cases}
2x - y = 4 \
y = 5
\end{cases} )
Шаг 1: Приведение уравнений к прямому виду.
Первое уравнение можно записать в виде ( y = 2x - 4 ). Второе уравнение уже задано как ( y = 5 ).
Шаг 2: Построение графиков.
Для уравнения ( y = 2x - 4 ) график представляет собой прямую. Чтобы нарисовать её, можно найти несколько точек.
- Если ( x = 0 ): ( y = 2(0) - 4 = -4 ) → точка (0, -4)
- Если ( x = 2 ): ( y = 2(2) - 4 = 0 ) → точка (2, 0)
- Если ( x = 3 ): ( y = 2(3) - 4 = 2 ) → точка (3, 2)
Для уравнения ( y = 5 ) - это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 5).
Шаг 3: Пересечение графиков.
На графике видно, что прямая ( y = 5 ) пересекает прямую ( y = 2x - 4 ) в одной точке. Чтобы найти координаты точки пересечения, подставим ( y = 5 ) в ( y = 2x - 4 ):
[ 5 = 2x - 4 ]
[ 2x = 5 + 4 ]
[ 2x = 9 ]
[ x = 4.5 ]
Координаты точки пересечения:
( (4.5, 5) )
Задача 2: Решение способом подстановки
Выбранная система:
( \begin{cases}
2x - y = 4 \
x + y = 17
\end{cases} )
Шаг 1: Изобразим y через x из второго уравнения.
Из уравнения ( x + y = 17 ) выразим ( y ):
[ y = 17 - x ]
Шаг 2: Подставим ( y ) в первое уравнение.
Теперь заменим ( y ) в ( 2x - y = 4 ):
[ 2x - (17 - x) = 4 ]
[ 2x - 17 + x = 4 ]
[ 3x - 17 = 4 ]
[ 3x = 4 + 17 ]
[ 3x = 21 ]
[ x = 7 ]
Шаг 3: Найдем ( y ).
Теперь подставим ( x = 7 ) обратно в ( y = 17 - x ):
[ y = 17 - 7 = 10 ]
Решение:
( (7, 10) )
Задача 3: Решение способом сложения
Выбранная система:
( \begin{cases}
4x - 3y = 7 \
x + 3y = 2
\end{cases} )
Шаг 1: Изменение второго уравнения для сложения.
Умножим второе уравнение на 4, чтобы удобнее было складывать:
[ 4(x + 3y) = 4 \cdot 2]
[ 4x + 12y = 8 ]
Теперь система имеет вид:
( \begin{cases}
4x - 3y = 7 \
4x + 12y = 8
\end{cases} )
Шаг 2: Выразим новую систему.
Выровняем по ( 4x ):
- ( 4x - 3y = 7 )
- ( 4x + 12y = 8 )
Теперь вычтем первое уравнение из второго:
[ (4x + 12y) - (4x - 3y) = 8 - 7 ]
[ 15y = 1 ]
[ y = \frac{1}{15} ]
Шаг 3: Найдем ( x ).
Подставим ( y ) обратно в любое уравнение, возьмем, например, ( x + 3y = 2 ):
[ x + 3 \cdot \frac{1}{15} = 2 ]
[ x + \frac{3}{15} = 2 ]
[ x + \frac{1}{5} = 2 ]
[ x = 2 - \frac{1}{5} ]
[ x = \frac{10}{5} - \frac{1}{5} = \frac{9}{5} ]
Решение:
( \left( \frac{9}{5}, \frac{1}{15} \right) )
Задача 4: Найдите стороны прямоугольника
Дано: Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах, равна 116 см².
Пусть стороны прямоугольника равно ( a ) и ( b ).
Шаг 1: Составим уравнения.
Периметр:
[ 2(a + b) = 28 ]
[ a + b = 14 \quad ...(1)]
Сумма площадей:
[ a^2 + b^2 = 116 \quad ...(2)]
Шаг 2: Выразим ( b ) через ( a ) из (1):
[ b = 14 - a ]
Шаг 3: Подставим ( b ) в (2):
[ a^2 + (14 - a)^2 = 116 ]
[ a^2 + (196 - 28a + a^2) = 116 ]
[ 2a^2 - 28a + 196 - 116 = 0 ]
[ 2a^2 - 28a + 80 = 0 ]
[ a^2 - 14a + 40 = 0 ]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Используем дискриминант:
[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36 ]
Корни уравнения:
[ a = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{14 \pm 6}{2} ]
Находим корни:
[ a_1 = \frac{20}{2} = 10, \quad a_2 = \frac{8}{2} = 4 ]
Шаг 5: Находим ( b ):
Если ( a = 10 ), то ( b = 14 - 10 = 4 ).
Если ( a = 4 ), то ( b = 14 - 4 = 10 ).
Ответ:
Стороны прямоугольника: ( 10 , \text{см} ) и ( 4 , \text{см} ).
Это полное решение данной задачи. Если есть другие вопросы - обращайтесь!
