Dx. 362. )Jsinž dx; a) dx; б) dx 2x coя2 x 9 x этона - Лейбница оказы- 363. a) sin +cos dx; ) (1+2x) dx; астности,| f (x) dx = 0). b) (1 + cos 2x) dx; г) dx. 1x; r) dx cos2 Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями ( 364-366 ). 364. a) y = x3, y = 8, x = 1; б) y = 2 cos x, y = 1, x = - E, x = 3 b) y = x2 - 2x + 4, y = 3, x = -1; r) y = sin x, y = 1 x= 5л 2 6 365. a) y = 4x - x2, y = 4 - x; б) у = = 2х, x = 4; b) y = x2, y = 2x; r) у = 6 - 2x, у = 6+ 366. - a) y = x2 - 4x + 4, y = 4 - x2; dx б) у = x2 - 2x + 2, y = 2 + 6x - x2; 16 b) y = x2, y = 2x - x2; г) у = x2, = x3. 1) dx = (x3 - 1) dx. 367. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 8х - 2х2, касательной к этой параболе в ее вершине и прямой х = 0. унок) площадь фи- 1). 368. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = 8 - 0,5х2, касательной к нему в точке с абсцис- сой x = -2 и прямой x = 1. 369. Докажите равенство: a) [ (f(x)+g(x))dx= [f(x)dx+ fg(x)dx;

Давайте разберем некоторые задачи по математике, начиная с интегралов и заканчивая нахождением площадей фигур. ### 1. Интегралы #### Задача 362: Вычисление интегралов Ваша задача может включать в себя несколько функций, которые нужно интегрировать. Давайте рассмотрим конкретные задачи. a) \(\int \sin x \, dx\) Для нахождения интеграла функции можно воспользоваться основными формулами интегрирования. - Интеграл от \(\sin x\) равен \(-\cos x + C\), где \(C\) — это константа интегрирования. Ответ: \(-\cos x + C\) б) \(\int (1 + cos 2x) \, dx\) Используем свойства интегралов и интегрируем каждую часть отдельно: 1. Интеграл от \(1\) равен \(x\). 2. Интеграл от \(\cos 2x\) равен \(\frac{1}{2} \sin 2x\) (по формуле замены переменной). Ответ: \(x + \frac{1}{2} \sin 2x + C\) ### 2. Нахождение площади фигуры #### Задача 364: Площадь фигуры, ограниченной графиками В этой задаче необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной несколькими графиками. Пример а): \(y = x^3\), \(y = 8\), \(x = 1\) 1. Найдите точки пересечения графиков: - Установим \(x^3 = 8\). Это дает \(x = 2\). - Границы будут от \(x = 1\) до \(x = 2\). 2. Площадь фигуры вычислим по формуле: \[ S = \int_1^2 (8 - x^3) \, dx \] 3. Вычислим интеграл: - \(S = \left[ 8x - \frac{x^4}{4} \right]_1^2 = \left( 16 - 4 \right) - \left( 8 - \frac{1}{4} \right)\) - \(= 12 - 7.75 = 4.25\). Ответ: площадь \(= 4.25\) б) \(y = 2 \cos x\), \(y = 1\), границы \(x = -\frac{\pi}{2}\) и \(x = 3\): 1. Пересечения: - Найдите точки пересечения: \(2 \cos x = 1\), т.е. \(\cos x = 0.5\). Это может быть \(x = \frac{\pi}{3}\) и \(x = \frac{5\pi}{3}\). 2. Затем определите, какую область будете интегрировать: - Учитывая ограничения по x, рассчитываем от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{3}\). 3. Площадь: \[ S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} (2 \cos x - 1) \, dx \] Тут опять выполняем интегрирование и подставляем границы. ### 3. Проверка равенства для интегралов #### Задача 369: Доказать равенство Покажем рвень равенств: \[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \] Это следует из свойства линейности интеграла, что можно сделать для любой суммы функций. ### Заключение Если у вас есть дополнительные детали или конкретные задачи, которые нужно решить, сообщите! Я постараюсь помочь вам максимально эффективно.