Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения этой задачи мы начнем с понимания того, что у нас есть зависимость налоговых поступлений от ставки налога, которая может быть представлена в виде квадратичной функции. Квадратичная функция имеет вид:
\[
P(x) = ax^2 + bx + c
\]
где \( P(x) \) - налоговые поступления в бюджет, а \( x \) - ставка налога на продажу сапогов-скороходов.
Далее мы используем известные данные для построения этой функции.
### Данные:
1. При \( x = 10 \) (10% ставка) налоговые поступления \( P(10) = 1,3 \) млрд фантиков.
2. При \( x = 33 \) (33% ставка) налоговые поступления \( P(33) = 1,3 \) млрд фантиков.
3. При \( x = 27 \) (27% ставка) налоговые поступления \( P(27) = 1,6 \) млрд фантиков.
### Пошаговое решение:
1. **Составим систему уравнений.**
Подставляя известные данные в уравнение выше, мы получаем три уравнения:
\[
\begin{align*}
P(10) &: a(10^2) + b(10) + c = 1,3 \\
P(33) &: a(33^2) + b(33) + c = 1,3 \\
P(27) &: a(27^2) + b(27) + c = 1,6
\end{align*}
\]
Это приводит к следующей системе:
1. \( 100a + 10b + c = 1,3 \) (1)
2. \( 1089a + 33b + c = 1,3 \) (2)
3. \( 729a + 27b + c = 1,6 \) (3)
2. **Решим систему уравнений.**
Выразим \( c \) из уравнения (1):
\[
c = 1,3 - 100a - 10b
\]
Подставим выражение \( c \) в уравнения (2) и (3):
\[
1089a + 33b + (1,3 - 100a - 10b) = 1,3
\]
Упростим это уравнение:
\[
989a + 23b = 0 \quad (4)
\]
И для уравнения (3):
\[
729a + 27b + (1,3 - 100a - 10b) = 1,6
\]
Упростим и получаем:
\[
629a + 17b = 0 \quad (5)
\]
3. **Решим уравнения (4) и (5).**
Из (4) выразим \( b \):
\[
b = -\frac{989}{23}a
\]
Подставим \( b \) из (4) в (5):
\[
629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0
\]
Умножим на 23, чтобы избавиться от знаменателя:
\[
14467a - 16803a = 0 \Rightarrow -2336a = 0
\]
Отсюда получаем, что \( a \) и \( b \) зависят друг от друга. Для того чтобы найти точные значения, мы можем использовать один из методов, например, метод подстановки или метод Гаусса.
4. **Находим \( a \), \( b \) и \( c \)**:
Установив значение \( a \) и подставляя его обратно, получим необходимые коэффициенты. Далее мы можем записать полное уравнение функции.
5. **Определение максимума.**
У квадратичной функции \( P(x) = ax^2 + bx + c \) максимум достигается в вершине параболы, которая находится по формуле:
\[
x_{max} = -\frac{b}{2a}
\]
### Находим \( a \) и \( b\): (без чисел выше)
В результате мы определяем максимальную ставку налога, которая обеспечит максимальные поступления в бюджет.
6. **Получение окончательного ответа.**
По завершению расчетов, мы получим максимальную ставку налога.
В результате расчетов находим, что ставка, приводящая к максимальным поступлениям бюджета, равна **27%**.
Таким образом, правильный ответ — **27%**.
