Чтобы решить задачу о колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки, нам нужно воспользоваться формулами для расчета длины волны колебаний и связи между различными параметрами контура.
Шаг 1: Определение частоты колебаний
Длина волны (\lambda) и частота (f) связаны уравнением:
[
\lambda = \frac{v}{f}
]
где (v) — это скорость света в вакууме (примерно (3 \times 10^8 , \text{м/с})).
Мы знаем, что (\lambda = 10 , \text{м}). Теперь найдем частоту:
[
f = \frac{v}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 , \text{м/с}}{10 , \text{м}} = 3 \times 10^7 , \text{Гц}
]
Шаг 2: Определение ёмкости конденсатора
Для колебательного контура с индуктивностью (L) и ёмкостью (C) период колебаний связан с частотой как:
[
f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
]
Перепишем это уравнение для определения ёмкости (C):
[
C = \frac{1}{(2\pi f)^2 L}
]
Подставим известные значения:
- (f = 3 \times 10^7 , \text{Гц})
- (L = 1 , \text{мГн} = 1 \times 10^{-3} , \text{Гн})
Теперь вычислим (C):
[
C = \frac{1}{(2\pi (3 \times 10^7))^2 (1 \times 10^{-3})}
]
Посчитаем (2\pi (3 \times 10^7)):
[
2\pi (3 \times 10^7) \approx 6.283 \times 3 \times 10^7 \approx 1.884 \times 10^8
]
Теперь найдем (C):
[
C = \frac{1}{(1.884 \times 10^8)^2 \times 10^{-3}} \approx \frac{1}{3.548 \times 10^{16} \times 10^{-3}} \approx \frac{1}{3.548 \times 10^{13}} \approx 2.82 \times 10^{-14} , \text{Ф}
]
Шаг 3: Определение расстояния между пластинами конденсатора
Теперь, зная ёмкость конденсатора, можем использовать формулу для ёмкости плоского конденсатора:
[
C = \frac{\varepsilon_0 \cdot S}{d}
]
где:
- (\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} , \text{Ф/м}) — электрическая постоянная,
- (S = 100 , \text{см}^2 = 100 \times 10^{-4} , \text{м}^2 = 1 \times 10^{-2} , \text{м}^2),
- (d) — расстояние между пластинами.
Перепишем формулу для (d):
[
d = \frac{\varepsilon_0 \cdot S}{C}
]
Теперь подставим известные значения:
[
d = \frac{(8.854 \times 10^{-12}) \cdot (1 \times 10^{-2})}{2.82 \times 10^{-14}}
]
Вычислим:
[
d = \frac{8.854 \times 10^{-14}}{2.82 \times 10^{-14}} \approx 3.14 , \text{м}
]
Ответ
Расстояние между пластинами конденсатора составляет приблизительно (3.14 , \text{м}).
