1. Даны два прямоугольных треугольника ABC, ABD (рис 1). Доказать: АВС = ΔАDC. Найти ВAD, если ВС = CD, АСВ = 55º.
Для решения задачи начнем с разбора условия и подробных шагов:
Даны два прямоугольных треугольника: ABC и ABD. Это означает, что в каждом из этих треугольников один из углов равен 90º.
Необходимо доказать: \(ABC = \Delta ADC\). Это означает, что нужно показать, что два треугольника равны, что может быть сделано с помощью критериев равенства треугольников, таких как: равенство по сторонам и углам.
Даны условия:
- \(BC = CD\) (два отрезка равны)
- Угол \(ACB = 55º\) (угол между сторонами)
Теперь проанализируем треугольники ABC и ACD. Важно заметить, что у нас нет информации об угле A, но мы можем использовать другие свойства животных треугольников.
Шаг 1: Определим углы
Так как треугольник ABC является прямоугольным, мы можем найти угол ACB (он нам дан — 55º). У нас осталось определить угол ABC.
Так как ABC и ABD – прямоугольные треугольники, вспомнить, что сумма всех углов в треугольнике равна 180º:
\[ \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180º \]
Подставим известные значения, где \(\angle ACB = 55º\) и \(\angle BAC = 90º\):
\[ \angle ABC + 55º + 90º = 180º \] \[ \angle ABC + 145º = 180º \] \[ \angle ABC = 180º - 145º = 35º \]
Теперь у нас известны два угла треугольника ABC: \( \angle ACB = 55º\) и \( \angle ABC = 35º\).
Шаг 2: Анализ треугольника ACD
Теперь обратим наше внимание на треугольник ACD. Здесь также один угол будет 90º (так как треугольник прямоугольный - отрезок AC будет перпендикулярен отрезку AD в точке C).
Предположим, что \(\angle CAD\) также равен 55º. По аналогии:
Так как \(BC = CD\) (по условию задачи):
- Сторона \(AC\) будет служить общей стороной для треугольников ABC и ADC.
Шаг 3: Применение критерия равенства
Теперь у нас есть:
- \(AC = AC\) (общая сторона)
- Углы:
- \( \angle ACB = \angle ACD = 55º\)
- \( \angle ABC = \angle DAC = 35º\)
Таким образом, по критерию равенства по двум углам и стороне (АУГ) - треугольники равны: \[ ABC \cong ADC \]
Шаг 4: Найти угол BAD
Уже известно: \[ \angle ABC = 35º \] И получается, что: \[ BAD = 90º - ABC = 90º - 35º = 55º \]
Ответ
Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны и угол \(BAD = 55º\).
