докажите что два остроугольных треугольника равны если сторона и высоты проведенные из концов этой стороны одного треугольника соответственно равны стороне и высотам проведенным…

Для доказательства равенства двух остроугольных треугольников с заданными условиями, воспользуемся некоторыми свойствами треугольников и высот.

Пусть у нас есть два треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle DEF \). Обозначим сторону \( AB = DE = a \), высоту \( h_C \) из вершины \( C \) на основание \( AB \) равной \( h_F \) из вершины \( F \) на основание \( DE \).

Если \( h_C \) и \( h_F \) — высоты из вершин C и F на их общие основания, то мы можем записать площади треугольников:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} a h_C \] \[ S_{DEF} = \frac{1}{2} a h_F \]

Поскольку \( h_C = h_F \), то площади этих треугольников равны:

\[ S_{ABC} = S_{DEF} \]

Теперь рассмотрим углы \( \angle ACB \) и \( \angle DFE \). Поскольку треугольники остроугольные, мы можем использовать отношение сторон и высот для получения углов. Из известных высот можно выразить углы через функцию тангенса:

\[ \tan(\angle ACB) = \frac{h_C}{\frac{a}{2}} \] \[ \tan(\angle DFE) = \frac{h_F}{\frac{a}{2}} \]

С учетом равенства высот \( h_C = h_F \), получаем, что \( \angle ACB = \angle DFE \).

Теперь имеем две стороны \( AB \) и углы при этих сторонах равные, что позволяет применить признак равенства треугольников (сторона-угол-сторона - СУС).

Таким образом, треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle DEF \) равны:

\[ \triangle ABC \cong \triangle DEF \]

Следовательно, если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны, одного треугольника respectively равны стороне и высотам, проведенным из концов этой стороны другого треугольника, то такие треугольники равны.

Таким образом, доказывается необходимое утверждение.