Для доказательства равенства двух остроугольных треугольников с заданными условиями, воспользуемся некоторыми свойствами треугольников и высот.
Пусть у нас есть два треугольника ( \triangle ABC ) и ( \triangle DEF ). Обозначим сторону ( AB = DE = a ), высоту ( h_C ) из вершины ( C ) на основание ( AB ) равной ( h_F ) из вершины ( F ) на основание ( DE ).
Если ( h_C ) и ( h_F ) — высоты из вершин C и F на их общие основания, то мы можем записать площади треугольников:
[
S_{ABC} = \frac{1}{2} a h_C
]
[
S_{DEF} = \frac{1}{2} a h_F
]
Поскольку ( h_C = h_F ), то площади этих треугольников равны:
[
S_{ABC} = S_{DEF}
]
Теперь рассмотрим углы ( \angle ACB ) и ( \angle DFE ). Поскольку треугольники остроугольные, мы можем использовать отношение сторон и высот для получения углов. Из известных высот можно выразить углы через функцию тангенса:
[
\tan(\angle ACB) = \frac{h_C}{\frac{a}{2}}
]
[
\tan(\angle DFE) = \frac{h_F}{\frac{a}{2}}
]
С учетом равенства высот ( h_C = h_F ), получаем, что ( \angle ACB = \angle DFE ).
Теперь имеем две стороны ( AB ) и углы при этих сторонах равные, что позволяет применить признак равенства треугольников (сторона-угол-сторона - СУС).
Таким образом, треугольники ( \triangle ABC ) и ( \triangle DEF ) равны:
[
\triangle ABC \cong \triangle DEF
]
Следовательно, если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны, одного треугольника respectively равны стороне и высотам, проведенным из концов этой стороны другого треугольника, то такие треугольники равны.
Таким образом, доказывается необходимое утверждение.
