Найди BD с помощью теоремы Пифагора
Для решения задачи, давайте рассмотрим данную фигуру подробнее. У нас есть параллелограмм \(ABCD\) с прямым углом \(\angle ADB\), где \(AB - BC = 3\), и периметр \(P\) равен 50. Необходимо найти длину диагонали \(BD\).
Шаг 1: Определение данных
Из условия известно:
- \(AB - BC = 3\)
- Периметр \(ABCD\), \(P = 50\)
- \(AD\) — высота к основанию \(AB\).
Поскольку \(ABCD\) — параллелограмм, \(AB = CD\) и \(BC = DA\).
Шаг 2: Выражение периметра
Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон: \[ P = AB + BC + CD + DA = 2(AB + BC) = 50 \]
Отсюда: \[ AB + BC = 25 \]
Шаг 3: Условие вычитания
По условию: \[ AB - BC = 3 \]
Шаг 4: Решение системы уравнений
Решим систему уравнений:
- \( AB + BC = 25 \)
- \( AB - BC = 3 \)
Добавим первое и второе уравнения: \[ (AB + BC) + (AB - BC) = 25 + 3 \] \[ 2AB = 28 \] \[ AB = 14 \]
Теперь вычтем второе из первого: \[ (AB + BC) - (AB - BC) = 25 - 3 \] \[ 2BC = 22 \] \[ BC = 11 \]
Шаг 5: Применение теоремы Пифагора
Теперь, чтобы найти \(BD\), применим теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \(ABD\):
\[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \]
Так как \(BC = AD\) в нашем параллелограмме: \[ BD^2 = 14^2 + 11^2 \] \[ BD^2 = 196 + 121 = 317 \] \[ BD = \sqrt{317} \]
Итог
Диагональ \(BD\) равна \(\sqrt{317}\).
