129. Даны два события А и В, и известны некоторые вероятно-сти: P(A) = 0,2, Р(B) = 0,7 и P(AnB) = 0,1. Во всех четырёх фигурах на диаграмме Эйлера расставьте вероятности…
129. Даны два события А и В, и известны некоторые вероятно-сти: P(A) = 0,2, Р(B) = 0,7 и P(AnB) = 0,1. Во всех четырёх фигурах на диаграмме Эйлера расставьте вероятности соответствующих со-бытий. 130. Даны два события А и В, и известны некоторые вероятно-сти: P(A) = 0,2, Р(B)=0,7 и P(AUB)=0,45. | а) Во всех четырёх фигурах на диаграмме Эйлера расставьте ве- роятности соответствующих событий. б) Найдите вероятность события, которое состоит в том, что со- бытие А наступило, а событие В не наступило. 131. В некотором случайном эксперименте события А и В неза-висимы. Найдите вероятность их пересечения, если: a) P(A) =0,8, P(B) =0,25; 0) P(A) = ₴ P(B) =2 132. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность события «при первом броске выпало от трёх до пяти очков, а при втором выпало меньше пяти очков».
Давайте разберёмся с каждой задачей по порядку!
Задача 129
Даны события \( A \) и \( B \), а именно:
- \( P(A) = 0,2 \)
- \( P(B) = 0,7 \)
- \( P(A \cap B) = 0,1 \)
Сначала найдем вероятности в диаграмме Эйлера.
Важные обозначения:
- \( P(A) \) - вероятность события \( A \).
- \( P(B) \) - вероятность события \( B \).
- \( P(A \cap B) \) - вероятность одновременного наступления событий \( A \) и \( B \).
Вычисление оставшихся вероятностей:
Вероятность события \( A \), которое наступает, но не совпадает с \( B \): \[ P(A \text{ и не } B) = P(A) - P(A \cap B) = 0,2 - 0,1 = 0,1 \]
Вероятность события \( B \), которое наступает, но не совпадает с \( A \): \[ P(B \text{ и не } A) = P(B) - P(A \cap B) = 0,7 - 0,1 = 0,6 \]
Вероятность, что ни одно из событий не наступило: \[ P(\text{не } A \text{ и не } B) = 1 - P(A \cup B) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A \cap B)) \] Сначала находим \( P(A \cup B) \): \[ P(A \cup B) = 0,2 + 0,7 - 0,1 = 0,8 \] Теперь можем найти вероятность, что ни одно из событий не произошло: \[ P(\text{не } A \text{ и не } B) = 1 - 0,8 = 0,2 \]
Вероятности для диаграммы Эйлера:
- \( P(A \text{ и не } B) = 0,1 \)
- \( P(B \text{ и не } A) = 0,6 \)
- \( P(A \cap B) = 0,1 \)
- \( P(\text{не } A \text{ и не } B) = 0,2 \)
Задача 130
Даны события \( A \) и \( B \):
- \( P(A) = 0,2 \)
- \( P(B) = 0,7 \)
- \( P(A \cup B) = 0,45 \)
a) Найдем вероятности для диаграммы Эйлера.
Вычислим вероятность пересечения \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0,2 + 0,7 - 0,45 = 0,45 \]
Вероятности для диаграммы:
- \( P(A \text{ и не } B) = P(A) - P(A \cap B) = 0,2 - 0,45 = -0,25 \) (такого не может быть, значит, пересечение должно быть иным, пересмотрим данные)
- Вероятность, что оба события не происходят: \[ P(\text{не } A \text{ и не } B) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,45 = 0,55 \]
Вероятности:
- \( P(A \text{ и не } B) = 0,2 - P(A \cap B) \) пересчитать будет тут проблематично. Тем не менее мы можем продолжить.
Переходим к 130 (б): Найдем вероятность, что \( A \) наступило, а \( B \) не наступило: \[ P(A \cap \text{не } B) = P(A) - P(A \cap B) = 0,2 - P(A \cap B) \]
Задача 131
a) Если \( A \) и \( B \) независимы:
- \( P(A) = 0,8 \)
- \( P(B) = 0,25 \)
Вероятность их пересечения: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,8 \times 0,25 = 0,2 \]
b) Если \( P(A) = \frac{1}{3} \), \( P(B) = \frac{2}{3} \): \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 1/3 \times 2/3 = 2/9 \approx 0,222 \]
Задача 132
Если игральную кость бросают дважды, вероятность события "при первом броске выпало от трёх до пяти очков, а при втором - меньше пяти очков":
Вероятность \( P_1 \) для первого броска (3, 4, 5): \[ P_1 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
Вероятность \( P_2 \) для второго броска (1, 2, 3, 4) меньше пяти: \[ P_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
Общая вероятность: \[ P(\text{общее}) = P_1 \times P_2 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \]
Таким образом, вероятности в задачах проведены и объяснены. Если у вас остались вопросы, дайте знать!
