Х³+4х²=6х+24

Чтобы решить уравнение \(x^3 + 4x^2 = 6x + 24\), начнем с того, чтобы привести его к стандартному виду, т.е. все члены уравнения перенесем в одну сторону: \[ x^3 + 4x^2 - 6x - 24 = 0 \] Теперь у нас есть кубическое уравнение. Решим его, используя метод подбора корней. ### Шаг 1: Подбор возможных корней Попробуем подставить различные целые значения \(x\): - \(x = 2\): \[ 2^3 + 4(2^2) - 6(2) - 24 = 8 + 16 - 12 - 24 = -12 \quad (\text{не корень}) \] - \(x = 3\): \[ 3^3 + 4(3^2) - 6(3) - 24 = 27 + 36 - 18 - 24 = 21 \quad (\text{не корень}) \] - \(x = -2\): \[ (-2)^3 + 4(-2)^2 - 6(-2) - 24 = -8 + 16 + 12 - 24 = -4 \quad (\text{не корень}) \] - \(x = -3\): \[ (-3)^3 + 4(-3)^2 - 6(-3) - 24 = -27 + 36 + 18 - 24 = 3 \quad (\text{не корень}) \] - \(x = -4\): \[ (-4)^3 + 4(-4)^2 - 6(-4) - 24 = -64 + 64 + 24 - 24 = 0 \quad (\text{корень}) \] Мы нашли корень \(x = -4\). ### Шаг 2: Деление многочлена Теперь мы можем выполнить деление многочлена \(x^3 + 4x^2 - 6x - 24\) на \(x + 4\) (так как \(x = -4\) является корнем). Используем деление многочлена: 1. Делим \(x^3\) на \(x\), получаем \(x^2\). 2. Умножаем \(x^2\) на \(x + 4\) и вычитаем: \[ x^3 + 4x^2 - (x^3 + 4x^2) = 0 \] 3. Теперь переносим оставшиеся члены: \[ -6x - 24 \] 4. Далее: \( -6x \) делим на \( x \), получаем \(-6\). 5. Умножаем \(-6\) на \(x + 4\) и вычитаем: \[ -6x - 24 - (-6x - 24) = 0 \] Теперь мы получили: \[ x^3 + 4x^2 - 6x - 24 = (x + 4)(x^2 - 6) \] ### Шаг 3: Решение оставшегося квадратного уравнения Теперь решим \(x^2 - 6 = 0\): \[ x^2 = 6 \] \[ x = \pm \sqrt{6} \] ### Итог Корни уравнения \(x^3 + 4x^2 - 6x - 24 = 0\): 1. \(x = -4\) 2. \(x = \sqrt{6}\) 3. \(x = -\sqrt{6}\) Таким образом, уравнение имеет три корня: \(x = -4\), \(x = \sqrt{6}\) и \(x = -\sqrt{6}\).