Х³+4х²=6х+24

Чтобы решить уравнение \(x^3 + 4x^2 = 6x + 24\), начнем с того, чтобы привести его к стандартному виду, т.е. все члены уравнения перенесем в одну сторону:

\[ x^3 + 4x^2 - 6x - 24 = 0 \]

Теперь у нас есть кубическое уравнение. Решим его, используя метод подбора корней.

Шаг 1: Подбор возможных корней

Попробуем подставить различные целые значения \(x\):

• \(x = 2\): \[ 2^3 + 4(2^2) - 6(2) - 24 = 8 + 16 - 12 - 24 = -12 \quad (\text{не корень}) \]

• \(x = 3\): \[ 3^3 + 4(3^2) - 6(3) - 24 = 27 + 36 - 18 - 24 = 21 \quad (\text{не корень}) \]

• \(x = -2\): \[ (-2)^3 + 4(-2)^2 - 6(-2) - 24 = -8 + 16 + 12 - 24 = -4 \quad (\text{не корень}) \]

• \(x = -3\): \[ (-3)^3 + 4(-3)^2 - 6(-3) - 24 = -27 + 36 + 18 - 24 = 3 \quad (\text{не корень}) \]

• \(x = -4\): \[ (-4)^3 + 4(-4)^2 - 6(-4) - 24 = -64 + 64 + 24 - 24 = 0 \quad (\text{корень}) \]

Мы нашли корень \(x = -4\).

Шаг 2: Деление многочлена

Теперь мы можем выполнить деление многочлена \(x^3 + 4x^2 - 6x - 24\) на \(x + 4\) (так как \(x = -4\) является корнем).

Используем деление многочлена:

1. Делим \(x^3\) на \(x\), получаем \(x^2\).

2. Умножаем \(x^2\) на \(x + 4\) и вычитаем: \[ x^3 + 4x^2 - (x^3 + 4x^2) = 0 \]

3. Теперь переносим оставшиеся члены: \[ -6x - 24 \]

4. Далее: \( -6x \) делим на \( x \), получаем \(-6\).

5. Умножаем \(-6\) на \(x + 4\) и вычитаем: \[ -6x - 24 - (-6x - 24) = 0 \]

Теперь мы получили:

\[ x^3 + 4x^2 - 6x - 24 = (x + 4)(x^2 - 6) \]

Шаг 3: Решение оставшегося квадратного уравнения

Теперь решим \(x^2 - 6 = 0\):

\[ x^2 = 6 \] \[ x = \pm \sqrt{6} \]

Итог

Корни уравнения \(x^3 + 4x^2 - 6x - 24 = 0\):

1. \(x = -4\)
2. \(x = \sqrt{6}\)
3. \(x = -\sqrt{6}\)

Таким образом, уравнение имеет три корня: \(x = -4\), \(x = \sqrt{6}\) и \(x = -\sqrt{6}\).