В прямоугольном треугольнике M N K MNK ∠ N = 90 ° ∠N=90° , ∠ K = 6 0 ∘ ∠K=60 ∘ . Чему равно численное значение гипотенузы M K MK , если M K + N K = 11 , 7 MK+NK=11,7 мм?
Чтобы найти длину гипотенузы \( MK \) в прямоугольном треугольнике \( MNK \), используем заданные углы и уравнение.
Запишем известные данные:
- \( \angle N = 90^\circ \) (Прямой угол)
- \( \angle K = 60^\circ \)
- Угол \( M \) тогда будет равен \( \angle M = 180^\circ - \angle N - \angle K = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
- \( MK + NK = 11,7 \) мм.
Обозначим стороны:
- \( MN \) — это противолежащая сторона к углу \( K \), соответственно это \( NK \).
- \( NK \) — это прилежащая сторона к углу \( K \), соответственно это \( MK \).
- Для удобства обозначим \( MK = c \) и \( NK = a \).
Согласно условию у нас: \[ c + a = 11,7 \text{ мм} \]
Используя тригонометрические функции, найдем соотношения сторон:
- Из угла \( K \): \[ \sin(60^\circ) = \frac{MN}{MK} \quad \text{и} \quad \cos(60^\circ) = \frac{NK}{MK} \]
- Зная, что \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), выразим \( MN \) и \( NK \): \[ MN = c \cdot \sin(60^\circ) \quad \text{и} \quad NK = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \]
Теперь найдем \( NK \) и подставим в уравнение: \[ NK = \frac{c}{2} \] Подставим значение \( NK \) в уравнение: \[ c + \frac{c}{2} = 11,7 \] Преобразим это уравнение: \[ \frac{2c}{2} + \frac{c}{2} = 11,7 \] \[ \frac{3c}{2} = 11,7 \] Умножим обе стороны на 2: \[ 3c = 23,4 \] Теперь разделим на 3: \[ c = \frac{23,4}{3} = 7,8 \text{ мм} \]
Итак, длина гипотенузы \( MK \): \[ MK = 7,8 \text{ мм} \]
Таким образом, гипотенуза \( MK \) равна 7,8 мм.
