Решение задачи основано на тригонометрических соотношениях и свойствах прямоугольного треугольника. Давайте по шагам разберем, как найти длину гипотенузы ( \text{AB} ), используя заданное значение ( \sin a = \frac{4}{5} ).
Шаг 1: Понимание треугольника
Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ), где угол ( A ) — это угол ( a ), ( BC ) — противолежащая сторона к углу ( A ), а ( AB ) — гипотенуза. В этом контексте:
- Противолежащая сторона (в данном случае ( BC )) равна 4.
- Гипотенуза (то, что мы ищем, ( AB )) равна ( c ).
Согласно определению синуса угла в прямоугольном треугольнике:
[
\sin a = \frac{\text{длина противолежащей стороны}}{\text{длина гипотенузы}}
]
Шаг 2: Подстановки
Согласно вашей задаче, у нас есть:
[
\sin a = \frac{4}{5} = \frac{BC}{AB}
]
То есть, подставляя в формулу, получаем:
[
\frac{4}{5} = \frac{4}{c}
]
Шаг 3: Решение уравнения
Теперь мы можем решить это уравнение относительно ( c ):
- Умножим обе стороны на ( c ):
[
4 = \frac{4}{5} \cdot c
]
- Умножим обе стороны на 5:
[
20 = 4c
]
- Разделим обе стороны на 4:
[
c = \frac{20}{4} = 5
]
Шаг 4: Ответ
Таким образом, длина гипотенузы ( AB ) равна ( 5 ).
Вывод
Исходя из того, что ( \sin a = \frac{4}{5} ) и противолежащая сторона равна 4, длина гипотенузы ( AB ) в данном треугольнике равна 5.
