На день рождения Алмаза пришли его 2 друга и 49 его подруг. Он накрыл для них круглый стол и поставил 51 стул. Гости рассаживаются в случайном порядке, сам Алмаз за стол не садится. Найдите вероятность того, что два его друга будут сидеть рядом.

Чтобы решить задачу о вероятности того, что два друга Алмаза будут сидеть рядом за круглым столом, начнём с понимания общей ситуации и подсчёта вероятностей. ### Основные данные - Всего гостей: 2 (друзья) + 49 (подруги) = 51 человек. - Алмаз за столом не сидит, так что фактически за столом размещаются 51 стул. ### Шаг 1: Общее количество способов рассадить гостей При размещении людей за круглом столе, чтобы избежать одинаковых расположений из-за вращения стола, мы фиксируем одного из гостей (например, одну из подруг) и затем расставляем остальных. Таким образом, количество способов рассадить 51 человека: \[ (51 - 1)! = 50! \] ### Шаг 2: Количество способов, при котором два друга сидят рядом Представим двух друзей как один "блок". Таким образом, у нас теперь: - 1 "блок" (два друга, сидящие рядом) - 49 подруг Итого, у нас 50 "персонажей": - 1 "блок" + 49 подруг Теперь мы размещаем этот "блок" и остальных подруг: \[ (50 - 1)! = 49! \] Однако внутри "блока" наши два друга могут поменяться местами, так что к полученному количеству способов мы должны добавить возможности их перестановки: \[ 49! \times 2! \] ### Шаг 3: Подсчёт полной вероятности Теперь мы можем найти вероятность того, что два друга сидят рядом. Вероятность P будет равна количеству способов, при котором друзья сидят рядом, делённому на общее количество способов рассадки: \[ P = \frac{49! \times 2!}{50!} \] ### Шаг 4: Упрощение Мы знаем, что: \[ 50! = 50 \times 49! \] Следовательно: \[ P = \frac{49! \times 2!}{50 \times 49!} = \frac{2!}{50} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25} \] ### Ответ Таким образом, вероятность того, что два друга Алмаза будут сидеть рядом, равна: \[ \frac{1}{25} \]