Решите линейное дифференциальное уравнение y'-5y=7

Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка \( y' - 5y = 7 \) мы будем следовать стандартной процедуре. Давайте сделаем это пошагово.

Шаг 1: Записываем уравнение

Мы имеем уравнение: \[ y' - 5y = 7 \]

Шаг 2: Найдем интегрирующий множитель

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Стандартизируем уравнение в форму \( y' + P(x)y = Q(x) \): \[ y' - 5y = 7 \] В нашем случае \( P(x) = -5 \), а \( Q(x) = 7 \).

Теперь находим интегрирующий множитель \( \mu(x) \): \[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -5 \, dx} = e^{-5x} \]

Шаг 3: Умножаем на интегрирующий множитель

Умножим всё уравнение на \( \mu(x) \): \[ e^{-5x}y' - 5e^{-5x}y = 7e^{-5x} \] Слева у нас теперь полный дифференциал: \[ \frac{d}{dx}(e^{-5x}y) = 7e^{-5x} \]

Шаг 4: Интегрируем обе стороны

Теперь интегрируем обе стороны уравнения по \( x \): \[ \int \frac{d}{dx}(e^{-5x}y) \, dx = \int 7e^{-5x} \, dx \]

Слева наше интегрирование просто дает: \[ e^{-5x}y \]

Справа мы должны интегрировать \( 7e^{-5x} \): \[ \int 7e^{-5x} \, dx = -\frac{7}{5}e^{-5x} + C \] где \( C \) — константа интегрирования.

Теперь мы можем записать: \[ e^{-5x}y = -\frac{7}{5}e^{-5x} + C \]

Шаг 5: Выразим \( y \)

Чтобы получить \( y \), умножим обе стороны на \( e^{5x} \): \[ y = -\frac{7}{5} + Ce^{5x} \]

Шаг 6: Общий вид решения

Таким образом, общее решение нашего дифференциального уравнения выглядит так: \[ y = Ce^{5x} - \frac{7}{5} \] где \( C \) — произвольная константа.

Заключение

Теперь у нас есть полное решение для линейного дифференциального уравнения \( y' - 5y = 7 \). Вы можете задать вопрос о конкретных значениях \( C \) или условиях задачи, если такие имеются.