Чтобы решить задачу, следуем шагам, описанным ниже.
Шаг 1: Изображение треугольника
Поскольку угол ( C ) является прямым, можно изображать треугольник ( ABC ) следующим образом:
A
|\
| \
| \ AB
| \
| \
C +-----+ B
6 см 8 см
Здесь:
- ( C ) — это прямой угол.
- ( CA = 6 ) см — одна из катетов.
- ( CB = 8 ) см — другой катет.
- ( AB ) — гипотенуза, которую мы будем вычислять.
Шаг 2: Вычисление гипотенузы ( AB )
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется такое равенство:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим известные значения:
[
AB^2 = 6^2 + 8^2
]
[
AB^2 = 36 + 64
]
[
AB^2 = 100
]
Теперь находим ( AB ):
[
AB = \sqrt{100} = 10 \text{ см}
]
Шаг 3: Тригонометрические соотношения для угла ( B )
Теперь, используя определение тригонометрических функций при прямоугольном треугольнике, мы можем выразить ( \tan B ), ( \sin B ) и ( \cos B ).
Найдем ( \tan B ):
[
\tan B = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
]
Найдем ( \sin B ):
[
\sin B = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
]
Найдем ( \cos B ):
[
\cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}
]
Итоговый ответ
- Длина гипотенузы ( AB ): ( 10 ) см
- ( \tan B = \frac{3}{4} )
- ( \sin B = \frac{3}{5} )
- ( \cos B = \frac{4}{5} )
Эти значения являются конечными результатами для искомых величин. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!
