Дан треугольник АВС, известно, что угол С -прямой, СА = 6 см, СВ = 8 см. Изобрази соответствующий рисунок. Вычисли АВ и напиши тригонометрические соотношения угла В. (В ответе…

Чтобы решить задачу, следуем шагам, описанным ниже.

Шаг 1: Изображение треугольника

Поскольку угол \( C \) является прямым, можно изображать треугольник \( ABC \) следующим образом:

  A
  |\
  | \
  |  \ AB
  |   \
  |    \
C +-----+ B
   6 см  8 см

Здесь:

• \( C \) — это прямой угол.
• \( CA = 6 \) см — одна из катетов.
• \( CB = 8 \) см — другой катет.
• \( AB \) — гипотенуза, которую мы будем вычислять.

Шаг 2: Вычисление гипотенузы \( AB \)

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется такое равенство:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AB^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ AB^2 = 36 + 64 \] \[ AB^2 = 100 \]

Теперь находим \( AB \):

\[ AB = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]

Шаг 3: Тригонометрические соотношения для угла \( B \)

Теперь, используя определение тригонометрических функций при прямоугольном треугольнике, мы можем выразить \( \tan B \), \( \sin B \) и \( \cos B \).

1. Найдем \( \tan B \): \[ \tan B = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

2. Найдем \( \sin B \): \[ \sin B = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

3. Найдем \( \cos B \): \[ \cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]

Итоговый ответ

• Длина гипотенузы \( AB \): \( 10 \) см
• \( \tan B = \frac{3}{4} \)
• \( \sin B = \frac{3}{5} \)
• \( \cos B = \frac{4}{5} \)

Эти значения являются конечными результатами для искомых величин. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!